专题一函数与导数重点题型03：不等式恒成立与存在性问题研究-2021届高考数学一轮复习重点题型专题训练（解答题篇）

函数与导数重点题型研究 重点题型三：不等式“恒成立问题”与“存在性问题” 【问题分析】 不等式恒成立与存在性问题是高中数学的重要知识，也是高考命题的热点题型，通常把函数与导数、函数与方程、不等式问题结合在一起，综合考查学生分析问题、解决问题的能力。此类问题经常以压轴题型出现，难度略大。解决该问题的关键是将不等式恒成立与存在性问题转化为最值问题，在根据函数的单调性或基本不等式知识求出最值，进而解决该问题。 【解题策略】 （1）不等式“恒成立问题”与“存在性问题”区别 “恒成立问题”中使用的量词是全称量词，如“任意、所有、全部、每一个、总、都”等；而“存在性问题”中使用的量词为存在性量词，如“存在、有一个、至少有一个、有解”等。 所以在解决此类问题时，首先要区分是“恒成立问题”，还是“存在性问题”。 （2）不等式“恒成立问题”与“存在性问题”的转化 ①不等式“恒成立问题”的基本转化类型： a.恒成立;恒成立. b.恒成立;恒成立. c.恒成立;恒成立. e.函数在区间上单调递增恒成立；函数在区间上单调递减恒成立. f.恒成立;恒成立 ②不等式“存在性问题”的基本转化类型 a.有解;有解. b.有解;有解. c.有解;有解. e. f. （3）不等式“恒成立问题”与“存在性问题”解题思路 不等式恒成立与存在性问题通常都转化为最值问题来解决，一般情况下常用以下方法来解决： ①分离参数，如果问题中含有参数，且参数很容易分离，就采用参数分离法，将不等式转化为一边是参数，另一边是简单函数，再根据函数单调性解决. ②构造函数，通过构造函数，讨论构造的新函数单调性来解决此类问题. ③数形结合，如果函数图像易得，可以根据函数图像来解决此类问题. ④适当缩放，如：，， 【典例赏析】 例一：（2020·全国高考真题（理））已知函数. （1）当时，讨论的单调性； （2）当时，求的取值范围. 试题分析：（1）由已知得,很明显是单调递增的，又有，所以当时,,当时,. （2）由已知得当时,,属于恒成立问题，可以很容易将参数分离出来，然后在构造函数，求出新构造函数最大值即可. 解析：（1）由已知得当时，，. 当时,,函数单调递增 当时, 函数单调递增减 综上所述：函数在单调递增,在单调递减. (2)由已知. 当时，不等式，显然成立. 当时，不等式. 令,要使原不等式成