专题一函数与导数重点题型02：极值点偏移问题研究-2021届高考数学一轮复习重点题型专题训练（解答题篇）

函数与导数重点题型研究 重点题型二：函数极值点偏移问题 【问题分析】 极值点偏移的问题经常与函数的单调性、极值、最值与零点问题相结合，考题经常以解答题压轴题出现，此类问题涉及到的函数经常为含参函数，命题形式多样，难度较大。此类问题常考题型主要有：①关于极值点或极值不等式的证明；②有关极差值的取值范围。解决此类问题主要是通过消参减元构造函数，根据构造函数的性质（单调性）解决。 【知识拓展】 我们知道函数的导函数值符号决定了函数的单调性，的大小决定了函数变化的快慢，当在极值点对称两侧大小一样时，表明函数在极值点两侧的变化快慢是相同的，就说极值点没有偏移。当在极值点对称两侧大小不一样时，表明函数在极值点两侧的变化快慢是不相同的，就说极值点偏移。 极值点偏移判定：若函数存在极值点,方程的两个根为,当,也就是说极值点没有偏移，当，则极值点偏移。 极值点偏移有常见一下五种情况： ①极值点无偏移 ②左快右慢极值点左偏移 ③ 左慢右快极值点右偏移 ④左快右慢极值点左偏移 ⑤ 左慢右快极值点右偏移 口诀：谁陡向谁偏，左偏小,右偏大. 【命题形式】 极值点偏移问题常见的考题形式： （1）若函数存在两个零点且，求证或(为函数的极值点) （2）若函数存在且，使得,求证或(为函数的极值点) （3）若函数的有两个不同的根为，求证或(为函数的极值点) （4）若函数存在两个零点且，求证或. （5）若函数存在且，使得, 求证或. 【解题策略】 解决极值点偏移问题主要有以下方法： （1）构造函数法：根据极值点构造对称函数或，根据的正负，可以判断极值点的偏移情况，或根据单调性判断. （2）比较大小：根据函数单调性比较与或者与的大小，进而得出所证结果（为函数的极值点）. （3）证明的符号问题，比较与之间的大小,即可得出所在的单调区间，进而得出的正负. （4）消参减元：根据两点之间的关系，利用简单运算，化简或转化所求问题，减少变量个数，在构造相应函数求解. 【典例赏析】 例一：已知函数. （1）求的单调区间； （2）若存在，使得，证明：. 试题分析：由已知导函数,的极值点为.第（1）问，很容易解决。第（2）问很容易看出是极值点偏移问题，先找到关于的对称点，构造函数利用单调性发现，再结合条件及（1）的结论在上单调递减，可