专题08 基本不等式及其应用-2020-2021学年新教材高一数学秋季辅导讲义（沪教版2020）

专题08 基本不等式及其应用 （平均值不等式及其应用，三角不等式） 知识梳理 一、基本不等式： 1. 若，，当且仅当a=b时取等号 2.（1）“积定和最小”：如果积是定值P，那么当时，和有最小值； （2）“和定积最大”：如果和是定值S，那么当时，积有最大值。 3.若， 加权平均》算术平均》几何平均 2、 平均值不等式： 若a、b为正数，则，当且仅当时取等号 变式： 推广：是个正数，则称为这个正数的算术平均数，称为这个正数的几何平均数， 它们的关系是：，当且仅当时等号成立。 三、三角形不等式 如果是实数，则 注：当为复数或向量时结论也成立. 推论1： 推论2：如果是实数,那么,当且仅当时,等号成立. 例题解析 一、简单基本不等式问题 【例1】条件“且”是结论“”成立的 条件。 【例2】已知正数满足，求的最小值。判断下述解法正确与否，若不正确，请给出正确的解法，若正确，则说明理由。 的最小值为 【例3】如果正数满足，那么（ ） （A） ，且等号成立时的取值唯一 （B） （B），且等号成立时的取值唯一 （C） ，且等号成立时的取值不唯一 （D），且等号成立时的取值不唯一 【例4】设a>0 ，b>0 则下列不等式中不成立的是（ ） A． a+b+≥2 B (a+b)( +)≥4 C ≥a+b D ≥ 【巩固训练】 1、 若x> -1则x取什么值时x+的值最小？最小值是多少？ 2、 若，，且，则在中最大的一个是_____________。 二、不等式的最值问题 【例5】若，则的取值范围 【例6】已知，且，则的最小值 。 【例7】已知，且，则的最小值为 。 【例8】如图，在梯形ABCD中，AD//BC，AC、BD相交于O，记△BCO、△CDO、△ADO的面积分别为S1、S2、S3，则的取值范围是 . 【例9】设a>b>0，求的最小值。 【例10】x>-1，当x为何值时，的值最小？最小值是多少？ 【例11】 【例12】已知？ 【例13】函数最大值与最小值分别为 。 【例14】 【例15】设都是正数，且使，求实数的最大值。 【例16】 【例17】已知，，求的最小值及相应的的值。 【例18】已知求最小值。 【巩固训练】 1、已知，则的最大值为 ，此时 。 2、若，则实数的取值范围 。 3、已知 4、已知x＞0,y＞0，且+=1，求x+y的最小值. 5、已知正数a,b,x,y满足a+b=10,=1，x+y的最小值为18，求a,b的值. 3、 基本不等式的应用 【例18】直角三角形周长为2，则该三角形面积的最大值为 【例19】某汽车运输公司，购买了一批豪华大客车投入运营，据市场分析每辆客车运营总利润（单位：10万元）与运营年数为二次函数关系，则每辆客车运营多少年，其运营的年平均利润最大?并求最大年平均利润。 6 4 7 11 【例20】某单位用木料制作如图所示的框架, 框架的下部是边长分别为x、y(单位：m)的矩形.上部是等腰直角三角形. 要求框架围成的总面积8cm2. 问x、y分别为多少(精确到0.001m) 时用料最省? 【例21】某村计划建造一个室内面积为800的矩形蔬菜温室。在温室内，沿左右两侧与后侧内墙各保留1宽的通道，沿前侧内墙保留3宽的空地。设矩形温室的边长分别为，确定矩形温室的边长，使蔬菜的种植面积最大。 【巩固训练】 1、今有一台坏天平,两臂长不等，左、右臂长分别是,其余均精确,有人说要用它称物体的重量,只需将物体放在左右托盘各称一次，物体放在左、右托盘称得重量分别为（）,若真实重量为为G，则下列结论中正确的为（ ） A 。； B 。 ； C 。 ； D。不能确定； 2、如图3-4-1，动物园要围成相同的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成. （1）现有可围36 m长网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？ （2）若使每间虎笼面积为24 m2，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋总长度最小？ 3、某工厂拟建一座平面图为矩形且面积为200 平方米的三级污水处理池(平面图如图3-4-2所示),由于地形限制,长、宽都不能超过16米,如果池外周壁建造单价为每米400元,中间两道隔墙建造单价为每米248元,池底建造单价为每平方米80元,池壁的