解析几何：与圆有关的十种典型题型与解题方法导引

解析几何：与圆有关的十种典型题型与解题方法导引 本专题主要讨论与圆有关的最值问题、对称性、弦长、中点、取值范围、定值、定点、切线问题、存在性问题等十种典型问题的方法导引题策略与。 题型一、最值问题 1．在平面直角坐标系中，已知圆，点是圆外的一个动点，直线分别切圆于两点.若直线过定点（1，1），则线段长的最小值为____________. 【方法导引】由圆，得，设， 则过A点的圆C的切线方程为，过B点的圆C的切线方程为， 又点P在过A、B的圆C的切线上，所以，， 所以直线AB的方程为：，又直线过定点（1，1），所以，即，所以，当时，线段的长取得最小值，故方法导引为：. 2．已知平面直角坐标内定点，，，和动点，，若，，其中O为坐标原点，则的最小值是______． 方法导引：∵动点A（﹣1，0），B（1，0），P（x1，y1），∴ ∴（x1+1，y1）•（x1﹣1，y1）=1∴ ∴P的轨迹是个半径为、圆心在原点的圆 ∵∴Q，M，N三点共线 ∵M（4，0），N（0，4）∴Q的轨迹方程为直线MN：x+y﹣4=0 ∴的最小值是圆心到直线的距离减去半径，即=故方法导引为 3．已知直线，，是三条不同的直线，其中. （1）求证：直线恒过定点，并求出该点的坐标； （2）若以，的交点为圆心，为半径的圆与直线相交于两点，求的最小值. 【方法导引】（1）证明：，可化为： 令，方法导引得：，直线恒过定点 （2）将，联立可得交点坐标 设到直线的距离为，则 则求的最小值，即求的最大值 由（1）知，直线恒过点，则最大时，，即 4．一般地，对于直线及直线外一点，我们有点到直线的距离公式为：” （1）证明上述点到直线的距离公式 （2）设直线，试用上述公式求坐标原点到直线距离的最大值及取最大值时的值. 方法导引：(1)证明：设A≠0，B≠0，这时l与x轴、y轴都相交，过点P作x轴的平行线，交l于点R（x1，y0）；作y轴的平行线，交l于点S（x0，y2）， 由得． ∴=|x0﹣x1|=，=|y0﹣y2|=， =|Ax0+By0+C| 由三角形面积公式可知：d•=•∴可证明，当A=0时仍适用． (2)由直线，由（1）中点到直线距离公式可得原点到直线距离为： ，令，则， 所以， 当时， 当时， 若，则 若， 综上可知：，且当，即时，可取最大值． 5．设不过坐标原点的直线与二次函数相交于两点，若以为直径的圆过坐标原点. （1）求的值； （2）当以为直径的圆的面积最小时，求直线的方程. 方法导引：联立消去得.设， 由韦达定理得，因为以为直径的圆过坐标原点， 所以，得，由于两点在直线上， 所以 ，所以或 当时，直线过坐标原点，不符合条件，故； （2）由（1）知，， 则的中点坐标为，所以圆的半径 ， 当且仅当时，取得最小值2，此时，直线的方程为. 题型二、对称性 6.若点P(－4，－2,3)关于xOy平面及y轴对称的点的坐标分别是(a，b，c)，(e，f，d)，则c与e的和为(　　) A.7 B.－7 C.－1 D.1 方法导引　∵点P(－4，－2,3)关于xOy平面及y轴对称的点的坐标分别为(－4，－2，－3)，(4，－2，－3)， ∴c＝－3，e＝4，则c＋e＝1. 7．已知圆C的圆心C在x轴的正半轴上，半径为4，直线被圆C截得的弦长为. （1）求圆C的方程； （2）已知直线l过点，且与圆C交于A，B两点.若A，B关于点P对称，求直线l的方程. 方法导引：（1）设圆C的方程为，由题意可得，方法导引得. 故：圆C的方程为. （2）当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为. 此时点A，B不关于点对称，所以1不符合题意. 当直线l的斜率存在时，设直线l的斜率为k. 设，，因为A，B关于点P对称，所以，. 因为点A，B在圆C上，所以， 所以，整理得，即. 因为点A，B在直线l上，所以直线l的斜率为， 则直线l的方程为，即. 题型三、弦长问题 8.已知圆C的圆心是直线x＋y＋1＝0与直线x－y－1＝0的交点，直线3x＋4y－11＝0与圆C相交于A，B两点，且|AB|＝6，则圆C的方程为(　　) A.x2＋(y＋1)2＝18 B.x2＋(y＋1)2＝3 C.(x＋1)2＋y2＝18 D.(x＋1)2＋y2＝3 方法导引　A方法导引　易求得直线x＋y＋1＝0与直线x－y－1＝0的交点坐标为(0，－1)，所以圆C的圆心为(0，－1).设圆C的半径为r，由题意可得2＋32＝r2， 方法导引得r2＝18，所以圆C的标准方程为x2＋(y＋1)2＝18. 9．过直线上一点，作圆的两条切线，切点分别为，，若，则（ ） A．8 B． C． D．10 【方法导引】取中点，设，， 由，得， 即，所以，所以，，共线，设， 则，方法导引得，，， 故选：A. 10.