圆锥曲线齐次式与点乘双根法

圆锥曲线齐次式与点乘双根法 1， 圆锥曲线齐次式与斜率之积（和）为定值 例1：为椭圆上两个动点，且，过原点作直线的垂线，求的轨迹方程. 解法一（常规方法）：设，,设直线方程为，联立化简可得: ，所以 因为所以 又因为直线方程等价于为，即对比于，则代入中，化简可得：. 解法二（齐次式）： 设直线方程为，联立 化简可得: 整理成关于的齐次式：，进而两边同时除以，则 因为所以， 又因为直线方程等价于为，即对比于，则代入中，化简可得：. 例2：已知椭圆，设直线不经过点的直线交于两点，若直线的斜率之和为，证明：直线恒过定点. 解：以点为坐标原点，建立新的直角坐标系，如图所示： 旧坐标 新坐标 即 所以 原来则转换到新坐标就成为： 设直线方程为： 原方程：则转换到新坐标就成为： 展开得： 构造齐次式： 整理为： 两边同时除以，则 所以所以 而对于任意都成立. 则：，故对应原坐标为所以恒过定点. 例3：已知椭圆，过其上一定点作倾斜角互补的两条直线，分别交于椭圆于两点，证明：直线斜率为定值. 解：以点为坐标原点，建立新的直角坐标系，如图所示： 旧坐标 新坐标 即 所以 原来则转换到新坐标就成为： 设直线方程为： 原方程：则转换到新坐标就成为： 展开得： 构造齐次式： 整理为： 两边同时除以，则 所以所以 而.所以 平移变换，斜率不变，所以直线斜率为定值. 2， 点乘双根法 例4：设椭圆中心在原点，长轴在轴上，上顶点为，左右顶点分别为，线段中点分别为，且是面积为的直角三角形. （1）求其椭圆的方程 （2）过作直线交椭圆于两点，使，求直线的方程. 解：（1） （2）易知：直线不与轴垂直，则设直线方程为：， 因为，则， 所以 现联立 则方程可以等价转化 即 令， 令， 结合化简可得： 所以直线方程为：. $$