2.5 等比数列的前n项和-2020-2021学年高二数学同步课堂帮帮帮（人教A版必修5）

2.5 等比数列的前n项和 一、等比数列的前n项和公式 若等比数列的首项为，公比为，则等比数列的前项和的公式为 ． 二、等比数列前n项和公式的函数特性 1．当公比______________时，因为，所以是关于的正比例函数， 则数列的图象是正比例函数图象上的一群孤立的点． 2．当公比______________时，等比数列的前项和公式是，即， 设，则上式可写成的形式， 则数列的图象是函数图象上的一群孤立的点． 由此可见，非常数列的等比数列的前n项和是一个关于n的指数型函数与一个常数的和，且指数型函数的系数与常数项互为相反数． 三、等比数列前n项和的性质 设等比数列的前n项和为，公比为q，则利用等比数列的通项公式及前n项和公式可推得等比数列的前n项和具有以下性质： （1）当时，______________；当时，． （2）． （3）若项数为，则，若项数为，则______________． （4）当时，连续项的和（如）仍组成等比数列（公比为，）．注意：这里连续m项的和均非零． 一、 二、 三、 帮—重点 等比数列前n项和公式的应用、基本量的计算 帮—难点 等比数列前n项和的性质及应用、与等差数列的综合问题、数列求和问题 帮—易错 运用前n项和公式时忽略对公比的讨论 1．等比数列的前n项和的相关计算问题 在等比数列问题中共涉及五个量：及，利用等比数列的通项公式及前n项和公式即可“知三求二”．注意方程思想、整体思想及分类讨论等思想的应用． 在等比数列{an}中， （1）S2＝30，S3＝155，求Sn； （2）a1＋a3＝10，a4＋a6＝，求S5； （3）a1＋an＝66，a2an－1＝128，Sn＝126，求q. 【答案】见解析 【解析】　(1)由题意知 解得或 从而Sn＝×5n＋1－或Sn＝. (2)法一：由题意知 解得从而S5＝＝. 法二：由(a1＋a3)q3＝a4＋a6， 得q3＝，从而q＝. 又a1＋a3＝a1(1＋q2)＝10， 所以a1＝8，从而S5＝＝. (3)因为a2an－1＝a1an＝128， 所以a1，an是方程x2－66x＋128＝0的两根． 从而或 又Sn＝＝126，所以q为2或. 【名师点睛】1．在等比数列 {an}的五个量a1，q，an，n，Sn中，已知其中的三个量，通过列方程组，就能求出另外两个量，这是方程思想与整体思