2020年全国各地中考数学压轴题按题型（几何综合）汇编（八）规律探索的计算和证明综合题

2020全国各地中考数学压轴题按题型（几何综合）汇编 8、 规律探索的计算和证明综合题 1.（2020深圳）背景：一次小组合作探究课上，小明将两个正方形按如图所示的位置摆放（点E、A、D在同一条直线上），发现BE＝DG且BE⊥DG． 小组讨论后，提出了下列三个问题，请你帮助解答： （1）将正方形AEFG绕点A按逆时针方向旋转（如图1），还能得到BE＝DG吗？若能，请给出证明；若不能，请说明理由； （2）把背景中的正方形分别改成菱形AEFG和菱形ABCD，将菱形AEFG绕点A按顺时针方向旋转（如图2），试问当∠EAG与∠BAD的大小满足怎样的关系时，背景中的结论BE＝DG仍成立？请说明理由； （3）把背景中的正方形分别改写成矩形AEFG和矩形ABCD，且，AE＝4，AB＝8，将矩形AEFG绕点A按顺时针方向旋转（如图3），连接DE，BG．小组发现：在旋转过程中，DE2+BG2的值是定值，请求出这个定值． 【解答】（1）证明：∵四边形AEFG为正方形， ∴AE＝AF，∠EAG＝90°， 又∵四边形ABCD为正方形， ∴AB＝AD，∠BAD＝90°， ∴∠EAB＝∠GAD， ∴△AEB≌△AGD（SAS）， ∴BE＝DG； （2）当∠EAG＝∠BAD时，BE＝DG， 理由如下： ∵∠EAG＝∠BAD， ∴∠EAB＝∠GAD， 又∵四边形AEFG和四边形ABCD为菱形， ∴AE＝AG，AB＝AD， ∴△AEB≌△AGD（SAS）， ∴BE＝DG； （3）解：方法一：过点E作EM⊥DA，交DA的延长线于点M， 过点G作GN⊥AB交AB于点N， 由题意知，AE＝4，AB＝8， ∵， ∴AG＝6，AD＝12， ∵∠EMA＝∠ANG，∠MAE＝∠GAN， ∴△AME∽△ANG， 设EM＝2a，AM＝2b，则GN＝3a，AN＝3b，则BN＝8﹣3b， ∴ED2＝（2a）2+（12+2b）2＝4a2+144+48b+4b2， GB2＝（3a）2+（8﹣3b）2＝9a2+64﹣48b+9b2， ∴ED2+GB2＝13（a2+b2）+208＝13×4+208＝260． 方法二：如图2，设BE与DG交于Q， ∵，AE＝4，AB＝8 ∴AG＝6，AD＝12． ∵四边形AEFG和四边形ABCD为矩形， ∴∠EAG＝∠BAD， ∴∠EAB＝∠GAD， ∵， ∴△EAB∽△GAD， ∴∠BEA＝∠AGD， ∴A，E，G，Q四点共圆， ∴∠GQP＝∠PAE＝90°， ∴GD⊥EB， 连接EG，BD， ∴ED2+GB2＝EQ2+QD2+GQ2+QB2＝EG2+BD2， ∴EG2+BD2＝42+62+82+122＝260． 2.(2020贵州安顺)如图，四边形ABCD是正方形，点O为对角线AC的中点． （1）问题解决：如图①，连接BO，分别取CB，BO的中点P，Q，连接PQ，则PQ与BO的数量关系是　PQBO　，位置关系是　PQ⊥BO　； （2）问题探究：如图②，△AO'E是将图①中的△AOB绕点A按顺时针方向旋转45°得到的三角形，连接CE，点P，Q分别为CE，BO'的中点，连接PQ，PB．判断△PQB的形状，并证明你的结论； （3）拓展延伸：如图③，△AO'E是将图①中的△AOB绕点A按逆时针方向旋转45°得到的三角形，连接BO'，点P，Q分别为CE，BO'的中点，连接PQ，PB．若正方形ABCD的边长为1，求△PQB的面积． 【解答】解：（1）∵点O为对角线AC的中点， ∴BO⊥AC，BO＝CO， ∵P为BC的中点，Q为BO的中点， ∴PQ∥OC，PQOC， ∴PQ⊥BO，PQBO； 故答案为：PQBO，PQ⊥BO． （2）△PQB的形状是等腰直角三角形．理由如下： 连接O'P并延长交BC于点F， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC，∠ABC＝90°， ∵将△AOB绕点A按顺时针方向旋转45°得到△AO'E， ∴△AO'E是等腰直角三角形，O'E∥BC，O'E＝O'A， ∴∠O'EP＝∠FCP，∠PO'E＝∠PFC， 又∵点P是CE的中点， ∴CP＝EP， ∴△O'PE≌△FPC（AAS）， ∴O'E＝FC＝O'A，O'P＝FP， ∴AB﹣O'A＝CB﹣FC， ∴BO'＝BF， ∴△O'BF为等腰直角三角形． ∴BP⊥O'F，O'P＝BP， ∴△BPO'也为等腰直角三角形． 又∵点Q为O'B的中点， ∴PQ⊥O'B，且PQ＝BQ， ∴△PQB的形状是等腰直角三角形； （3）延长O'E交BC边于点G，连接PG，O'P． ∵四边形ABCD是正方形，AC是对角线， ∴∠ECG＝45°， 由旋转得，四边形O'ABG是矩形， ∴O'G＝AB＝BC，∠EGC＝90°， ∴△EGC为等腰直角三角形． ∵点P是CE的中点， ∴PC＝PG＝PE，∠CPG＝90°，∠E