2020年全国各地中考数学压轴题按题型（几何综合）汇编（七）几何最值的计算和证明综合题

2020全国各地中考数学压轴题按题型（几何综合）汇编 7、 几何最值的计算和证明综合题 1.（2020•郴州）如图1，在等腰直角三角形ADC中，∠ADC＝90°，AD＝4．点E是AD的中点，以DE为边作正方形DEFG，连接AG，CE．将正方形DEFG绕点D顺时针旋转，旋转角为α（0°＜α＜90°）． （1）如图2，在旋转过程中， ①判断△AGD与△CED是否全等，并说明理由； ②当CE＝CD时，AG与EF交于点H，求GH的长． （2）如图3，延长CE交直线AG于点P． ①求证：AG⊥CP； ②在旋转过程中，线段PC的长度是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）①如图2中，结论：△AGD≌△CED． 理由：∵四边形EFGD是正方形， ∴DG＝DE，∠GDE＝90°， ∵DA＝DC，∠ADC＝90°， ∴∠GDE＝∠ADC， ∴∠ADG＝∠CDE， ∴△AGD≌△CED（SAS）． ②如图2中，过点A作AT⊥GD于T． ∵△AGD≌△CED，CD＝CE， ∴AD＝AG＝4， ∵AT⊥GD， ∴TG＝TD＝1， ∴AT， ∵EF∥DG， ∴∠GHF＝∠AGT， ∵∠F＝∠ATG＝90°， ∴△GFH∽△ATG， ∴， ∴， ∴GH． （2）①如图3中，设AD交PC于O． ∵△AGD≌△CED， ∴∠DAG＝∠DCE， ∵∠DCE+∠COD＝90°，∠COD＝∠AOP， ∴∠AOP+∠DAG＝90°， ∴∠APO＝90°， ∴CP⊥AG． ②∵∠CPA＝90°，AC是定值， ∴当∠ACP最小时，PC的值最大， ∴当DE⊥PC时，∠ACP的值最小，此时PC的值最大，此时点F与P重合（如图4中）， ∵∠CED＝90°，CD＝4，DE＝2， ∴EC2， ∵EF＝DE＝2， ∴CP＝CE+EF＝2+2， ∴PC的最大值为2+2． 2.（2020•江西）已知∠MPN的两边分别与⊙O相切于点A，B，⊙O的半径为r． （1）如图1，点C在点A，B之间的优弧上，∠MPN＝80°，求∠ACB的度数； （2）如图2，点C在圆上运动，当PC最大时，要使四边形APBC为菱形，∠APB的度数应为多少？请说明理由； （3）若PC交⊙O于点D，求第（2）问中对应的阴影部分的周长（用含r的式子表示）． 【解答】解：（1）如图1，连接OA，OB， ∵PA，PB为⊙O的切线， ∴∠PAO＝∠PBO＝90°， ∵∠APB+∠PAO+∠PBO+∠AOB＝360°， ∴∠APB+∠AOB＝180°， ∵∠APB＝80°， ∴∠AOB＝100°， ∴∠ACB＝50°； （2）如图2，当∠APB＝60°时，四边形APBC是菱形， 连接OA，OB， 由（1）可知，∠AOB+∠APB＝180°， ∵∠APB＝60°， ∴∠AOB＝120°， ∴∠ACB＝60°＝∠APB， ∵点C运动到PC距离最大， ∴PC经过圆心， ∵PA，PB为⊙O的切线， ∴PA＝PB，∠APC＝∠BPC＝30°， 又∵PC＝PC， ∴△APC≌△BPC（SAS）， ∴∠ACP＝∠BCP＝30°，AC＝BC， ∴∠APC＝∠ACP＝30°， ∴AP＝AC， ∴AP＝AC＝PB＝BC， ∴四边形APBC是菱形； （3）∵⊙O的半径为r， ∴OA＝r，OP＝2r， ∴APr，PD＝r， ∵∠AOP＝90°﹣∠APO＝60°， ∴， ∴阴影部分的周长＝PA+PDr+rr＝（1）r． 3.（2020山东临沂）如图，菱形ABCD的边长为1，∠ABC＝60°，点E是边AB上任意一点（端点除外），线段CE的垂直平分线交BD，CE分别于点F，G，AE，EF的中点分别为M，N． （1）求证：AF＝EF； （2）求MN+NG的最小值； （3）当点E在AB上运动时，∠CEF的大小是否变化？为什么？ 【解答】解：（1）连接CF， ∵FG垂直平分CE， ∴CF＝EF， ∵四边形ABCD为菱形， ∴A和C关于对角线BD对称， ∴CF＝AF， ∴AF＝EF； （2）连接AC， ∵M和N分别是AE和EF的中点，点G为CE中点， ∴MNAF，NGCF，即MN+NG（AF+CF）， 当点F与菱形ABCD对角线交点O重合时， AF+CF最小，即此时MN+NG最小， ∵菱形ABCD边长为1，∠ABC＝60°， ∴△ABC为等边三角形，AC＝AB＝1， 即MN+NG的最小值为； （3）不变，理由是： 延长EF，交DC于H， ∵∠CFH＝∠FCE+∠FEC，∠AFH＝∠FAE+∠FEA， ∴∠AFC＝∠FCE+∠FEC+∠FAE+∠FEA， ∵点F在菱形ABCD对角线BD上，根据菱形的对称性可得： ∠AFD＝∠CFD∠AFC， ∵AF＝CF＝EF， ∴∠AEF＝∠EAF，∠FEC＝∠FCE， ∴∠AFD＝∠FAE