2020年全国各地中考数学压轴题按题型（几何综合）汇编（六）三大变换（平移旋转对称）的计算和证明综合题

2020全国各地中考数学压轴题按题型（几何综合）汇编 6、 三大变换（平移旋转对称）的计算和证明综合题 1.（2020福建）如图，△ADE由△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°得到，且点B的对应点D恰好落在BC的延长线上，AD，EC相交于点P． （1）求∠BDE的度数； （2）F是EC延长线上的点，且∠CDF＝∠DAC． ①判断DF和PF的数量关系，并证明； ②求证：． 【解答】解：（1）∵△ADE由△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°得到， ∴AB＝AD，∠BAD＝90°，△ABC≌△ADE， 在Rt△ABD中，∠B＝∠ADB＝45°， ∴∠ADE＝∠B＝45°， ∴∠BDE＝∠ADB+∠ADE＝90°． （2）①DF＝PF． 证明：由旋转的性质可知，AC＝AE，∠CAE＝90°， 在Rt△ACE中，∠ACE＝∠AEC＝45°， ∵∠CDF＝∠CAD，∠ACE＝∠ADB＝45°， ∴∠ADB+∠CDF＝∠ACE+∠CAD， 即∠FPD＝∠FDP， ∴DF＝PF． ②证明：过点P作PH∥ED交DF于点H， ∴∠HPF＝∠DEP，， ∵∠DPF＝∠ADE+∠DEP＝45°+∠DEP， ∠DPF＝∠ACE+∠DAC＝45°+∠DAC， ∴∠DEP＝∠DAC， 又∵∠CDF＝∠DAC， ∴∠DEP＝∠CDF， ∴∠HPF＝∠CDF， 又∵FD＝FP，∠F＝∠F， ∴△HPF≌△CDF（ASA）， ∴HF＝CF， ∴DH＝PC， 又∵， ∴． 2.（2020甘肃金昌）如图，点M，N分别在正方形ABCD的边BC，CD上，且∠MAN＝45°．把△ADN绕点A顺时针旋转90°得到△ABE． （1）求证：△AEM≌△ANM． （2）若BM＝3，DN＝2，求正方形ABCD的边长． 【解答】（1）证明：∵△ADN≌△ABE， ∴∠DAN＝∠BAE，DN＝BE， ∵∠DAB＝90°，∠MAN＝45°， ∴∠MAE＝∠BAE+∠BAM＝∠DAN+∠BAM＝45°， ∴∠MAE＝∠MAN， ∵MA＝MA， ∴△AEM≌△ANM（SAS）． （2）解：设CD＝BC＝x，则CM＝x﹣3，CN＝x﹣2， ∵△AEM≌△ANM， ∴EM＝MN， ∵BE＝DN， ∴MN＝BM+DN＝5， ∵∠C＝90°， ∴MN2＝CM2+CN2， ∴25＝（x﹣2）2+（x﹣3）2， 解得，x＝6或﹣1（舍弃）， ∴正方形ABCD的边长为6． 3.（2020玉林）如图，四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，且OA＝OB＝OC＝ODAB． （1）求证：四边形ABCD是正方形； （2）若H是边AB上一点（H与A，B不重合），连接DH，将线段DH绕点H顺时针旋转90°，得到线段HE，过点E分别作BC及AB延长线的垂线，垂足分别为F，G．设四边形BGEF的面积为s1，以HB，BC为邻边的矩形的面积为s2，且s1＝s2．当AB＝2时，求AH的长． 【解答】（1）证明：∵OA＝OB＝OC＝OD， ∴AC＝BD， ∴平行四边形ABCD是矩形， ∵OA＝OB＝OC＝ODAB， ∴OA2+OB2＝AB2， ∴∠AOB＝90°， 即AC⊥BD， ∴四边形ABCD是正方形； （2）解：∵EF⊥BC，EG⊥AG， ∴∠G＝∠EFB＝∠FBG＝90°， ∴四边形BGEF是矩形， ∵将线段DH绕点H顺时针旋转90°，得到线段HE， ∴∠DHE＝90°，DH＝HE， ∴∠ADH+∠AHD＝∠AHD+∠EHG＝90°， ∴∠ADH＝∠EHG， ∵∠DAH＝∠G＝90°， ∴△ADH≌△GHE（AAS）， ∴AD＝HG，AH＝EG， ∵AB＝AD， ∴AB＝HG， ∴AH＝BG， ∴BG＝EG， ∴矩形BGEF是正方形， 设AH＝x，则BG＝EG＝x， ∵s1＝s2． ∴x2＝2（2﹣x）， 解得：x1（负值舍去）， ∴AH1． 4.（2020河南省）将正方形ABCD的边AB绕点A逆时针旋转至AB′，记旋转角为α，连接BB′，过点D作DE垂直于直线BB′，垂足为点E，连接DB′，CE． （1）如图1，当α＝60°时，△DEB′的形状为　等腰直角三角形　，连接BD，可求出的值为　　； （2）当0°＜α＜360°且α≠90°时， ①（1）中的两个结论是否仍然成立？如果成立，请仅就图2的情形进行证明；如果不成立，请说明理由； ②当以点B′，E，C，D为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出的值． 【解答】解：（1）∵AB绕点A逆时针旋转至AB′， ∴AB＝AB'，∠BAB'＝60°， ∴△ABB'是等边三角形， ∴∠BB'A＝60°， ∴∠DAB'＝∠BAD﹣∠BAB'＝90°﹣60°＝30°， ∵AB'＝AB＝AD， ∴∠AB'D＝∠ADB'， ∴∠AB'D75°， ∴∠DB'E＝180°﹣60°﹣75