2020年全国各地中考数学压轴题按题型（几何综合）汇编（五）动点产生的计算和证明综合

2020全国各地中考数学压轴题按题型（几何综合）汇编 5、 动点产生的计算和证明综合题 1.（2020北京）在△ABC中，∠C＝90°，AC＞BC，D是AB的中点．E为直线AC上一动点，连接DE．过点D作DF⊥DE，交直线BC于点F，连接EF． （1）如图1，当E是线段AC的中点时，设AE＝a，BF＝b，求EF的长（用含a，b的式子表示）； （2）当点E在线段CA的延长线上时，依题意补全图2，用等式表示线段AE，EF，BF之间的数量关系，并证明． 【解答】解：（1）∵D是AB的中点，E是线段AC的中点， ∴DE∥BC，DEBC， ∵∠ACB＝90°， ∴∠DEC＝90°， ∵DF⊥DE， ∴∠EDF＝90°， ∴四边形CEDF是矩形， ∴DE＝CFBC， ∴CF＝BF＝b， ∵CE＝AE＝a， ∴EF； （2）AE2+BF2＝EF2． 证明：过点B作BM∥AC，与ED的延长线交于点M，连接MF， 则∠AED＝∠BMD，∠CBM＝∠ACB＝90°， ∵D点是AB的中点， ∴AD＝BD， 在△ADE和△BDM中， ， ∴△ADE≌△BDM（AAS）， ∴AE＝BM，DE＝DM， ∵DF⊥DE， ∴EF＝MF， ∵BM2+BF2＝MF2， ∴AE2+BF2＝EF2． 2.（2020贵州安顺）如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E为对角线AC上一动点（点E与点A、C不重合），连接DE，作EF⊥DE交射线BA于点F，过点E作MN∥BC分别交CD、AB于点M、N，作射线DF交射线CA于点G． （1）求证：EF＝DE； （2）当AF＝2时，求GE的长． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，AC是对角线， ∴∠ECM＝45°， ∵MN∥BC，∠BCM＝90°， ∴∠NMC+∠BCM＝180°，∠MNB+∠B＝180°， ∴∠NMC＝90°，∠MNB＝90°， ∴∠MEC＝∠MCE＝45°，∠DME＝∠ENF＝90°， ∴MC＝ME， ∵CD＝MN， ∴DM＝EN， ∵DE⊥EF，∠EDM+∠DEM＝90°， ∴∠DEF＝90°， ∴∠DEM+∠FEN＝90°， ∴∠EDM＝∠FEN， 在△DME和△ENF中 ， ∴△DME≌△ENF（ASA）， ∴EF＝DE； （2）如图1所示，由（1）知，△DME≌△ENF， ∴ME＝NF， ∵四边形MNBC是矩形， ∴MC＝BN， 又∵ME＝MC，AB＝4，AF＝2， ∴BN＝MC＝NF＝1， ∵∠EMC＝90°， ∴CE， ∵AF∥CD， ∴△DGC∽△FGA， ∴， ∴， ∵AB＝BC＝4，∠B＝90°， ∴AC＝4， ∵AC＝AG+GC， ∴AG，CG， ∴GE＝GC﹣CE； 如图2所示， 同理可得，FN＝BN， ∵AF＝2，AB＝4， ∴AN＝1， ∵AB＝BC＝4，∠B＝90°， ∴AC＝4， ∵AF∥CD， ∴△GAF∽△GCD， ∴， 即， 解得，AG＝4， ∵AN＝NE＝1，∠ENA＝90°， ∴AE， ∴GE＝GA+AE＝5． 3.（2020河北省）如图1和图2，在△ABC中，AB＝AC，BC＝8，tanC．点K在AC边上，点M，N分别在AB，BC上，且AM＝CN＝2．点P从点M出发沿折线MB﹣BN匀速移动，到达点N时停止；而点Q在AC边上随P移动，且始终保持∠APQ＝∠B． （1）当点P在BC上时，求点P与点A的最短距离； （2）若点P在MB上，且PQ将△ABC的面积分成上下4：5两部分时，求MP的长； （3）设点P移动的路程为x，当0≤x≤3及3≤x≤9时，分别求点P到直线AC的距离（用含x的式子表示）； （4）在点P处设计并安装一扫描器，按定角∠APQ扫描△APQ区域（含边界），扫描器随点P从M到B再到N共用时36秒．若AK，请直接写出点K被扫描到的总时长． 【解答】解：（1）如图1中，过点A作AH⊥BC于H． ∵AB＝AC，AH⊥BC， ∴BH＝CH＝4，∠B＝∠C， ∴tan∠B＝tan∠C， ∴AH＝3，AB＝AC5． ∴当点P在BC上时，点P到A的最短距离为3． （2）如图1中，∵∠APQ＝∠B， ∴PQ∥BC， ∴△APQ∽△ABC， ∵PQ将△ABC的面积分成上下4：5， ∴（）2， ∴， ∴AP， ∴PM＝AP＝AM2． （3）当0≤x≤3时，如图1﹣1中，过点P作PJ⊥CA交CA的延长线于J． ∵PQ∥BC， ∴，∠AQP＝∠C， ∴， ∴PQ（x+2）， ∵sin∠AQP＝sin∠C， ∴PJ＝PQ•sin∠AQP（x+2）． 当3≤x≤9时，如图2中，过点P作PJ⊥AC于J． 同法可得PJ＝PC•sin∠C（11﹣x）． （4）由题意点P的运动速度单位长度/秒． 当3＜x≤9时，设CQ＝y． ∵∠APC＝∠B+∠BAP＝∠APQ+∠CPQ，∠