2020年全国各地中考数学压轴题按题型（几何综合）汇编（四）新定义计算和证明综合

2020全国各地中考数学压轴题按题型（几何综合）汇编 4、 新定义计算和证明综合题 1.（2020北京）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1，A，B为⊙O外两点，AB＝1． 给出如下定义：平移线段AB，得到⊙O的弦A'B'（A'，B′分别为点A，B的对应点），线段AA'长度的最小值称为线段AB到⊙O的“平移距离”． （1）如图，平移线段AB得到⊙O的长度为1的弦P1P2和P3P4，则这两条弦的位置关系是　P1P2∥P3P4　；在点P1，P2，P3，P4中，连接点A与点　P3　的线段的长度等于线段AB到⊙O的“平移距离”； （2）若点A，B都在直线yx+2上，记线段AB到⊙O的“平移距离”为d1，求d1的最小值； （3）若点A的坐标为（2，），记线段AB到⊙O的“平移距离”为d2，直接写出d2的取值范围． 【解答】解：（1）如图，平移线段AB得到⊙O的长度为1的弦P1P2和P3P4，则这两条弦的位置关系是P1P2∥P3P4；在点P1，P2，P3，P4中，连接点A与点P3的线段的长度等于线段AB到⊙O的“平移距离”． 故答案为：P1P2∥P3P4，P3． （2）如图1中，作等边△OEF，点E在x轴上，OE＝EF＝OF＝1， 设直线yx+2交x轴于M，交y轴于N．则M（﹣2，0），N（0，2）， 过点E作EH⊥MN于H， ∵OM＝2，ON＝2， ∴tan∠NMO， ∴∠NMO＝60°， ∴EH＝EM•sin60°， 观察图象可知，线段AB到⊙O的“平移距离”为d1的最小值为． （3）如图2中，以A为圆心1为半径作⊙A，作直线OA交⊙O于M，交⊙A于N， 以OA，AB为邻边构造平行四边形ABDO，以OD为边构造等边△ODB′，等边△OB′A′，则AB∥A′B′，AA′的长即为线段AB到⊙O的“平移距离”， 当点A′与M重合时，AA′的值最小，最小值＝OA﹣OM1， 当点B与N重合时，AA′的长最大，如图3中，过点A′作A′H⊥OA于H． 由题意A′H，AH3， ∴AA′的最大值， ∴d2． 2.（2020湖北咸宁）定义：有一组对角互余的四边形叫做对余四边形． 理解： （1）若四边形ABCD是对余四边形，则∠A与∠C的度数之和为　90°或270°　； 证明： （2）如图1，MN是⊙O的直径，点A，B，C在⊙O上，AM，CN相交于点D． 求证：四边形ABCD是对余四边形； 探究： （3）如图2，在对余四边形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝60°，探究线段AD，CD和BD之间有怎样的数量关系？写出猜想，并说明理由． 【解答】（1）解：∵四边形ABCD是对余四边形， ∴∠A+∠C＝90°或∠A+∠C＝360°﹣90°＝270°， 故答案为：90°或270°； （2）证明：∵MN是⊙O的直径，点A，B，C在⊙O上， ∴∠BAM+∠BCN＝90°， 即∠BAD+∠BCD＝90°， ∴四边形ABCD是对余四边形； （3）解：线段AD，CD和BD之间数量关系为：AD2+CD2＝BD2，理由如下： ∵对余四边形ABCD中，∠ABC＝60°， ∴∠ADC＝30°， ∵AB＝BC， ∴将△BCD绕点B逆时针旋转60°，得到△BAF，连接FD，如图3所示： ∴△BCD≌△BAF，∠FBD＝60° ∴BF＝BD，AF＝CD，∠BDC＝∠BFA， ∴△BFD是等边三角形， ∴BF＝BD＝DF， ∵∠ADC＝30°， ∴∠ADB+∠BDC＝30°， ∴∠BFA+∠ADB＝30°， ∵∠FBD+∠BFA+∠ADB+∠AFD+∠ADF＝180°， ∴60°+30°+∠AFD+∠ADF＝180°， ∴∠AFD+∠ADF＝90°， ∴∠FAD＝90°， ∴AD2+AF2＝DF2， ∴AD2+CD2＝BD2． 3.（2020湖南湘潭）阅读材料：三角形的三条中线必交于一点，这个交点称为三角形的重心． （1）特例感知：如图（一），已知边长为2的等边△ABC的重心为点O，求△OBC与△ABC的面积． （2）性质探究：如图（二），已知△ABC的重心为点O，请判断、是否都为定值？如果是，分别求出这两个定值；如果不是，请说明理由． （3）性质应用：如图（三），在正方形ABCD中，点E是CD的中点，连接BE交对角线AC于点M． ①若正方形ABCD的边长为4，求EM的长度； ②若S△CME＝1，求正方形ABCD的面积． 【解答】解：（1）连接DE，如图， ∵点O是△ABC的重心， ∴AD，BE是BC，AC边上的中线， ∴D，E为BC，AC边上的中点， ∴DE为△ABC的中位线， ∴DE∥AB，DEAB， ∴△ODE∽△OAB， ∴， ∵AB＝2，BD＝1，∠ADB＝90°， ∴AD，OD， ∴，； （2）由（1）可知，，是定值； 点O到BC的距离和点A到BC的距离之比为1：3，