2020年全国各地中考数学压轴题按题型（几何综合）汇编（三）圆中的计算和证明综合

2020全国各地中考数学压轴题按题型（几何综合）汇编 3、 圆中的计算和证明综合题 1.（2020福建）如图，AB与⊙O相切于点B，AO交⊙O于点C，AO的延长线交⊙O于点D，E是上不与B，D重合的点，sinA． （1）求∠BED的大小； （2）若⊙O的半径为3，点F在AB的延长线上，且BF＝3，求证：DF与⊙O相切． 【解答】解：（1）连接OB，如图1， ∵AB与⊙O相切于点B， ∴∠ABO＝90°， ∵sinA， ∴∠A＝30°， ∴∠BOD＝∠ABO+∠A＝120°， ∴∠BED∠BOD＝60°； （2）连接OF，OB，如图2， ∵AB是切线， ∴∠OBF＝90°， ∵BF＝3，OB＝3， ∴， ∴∠BOF＝60°， ∵∠BOD＝120°， ∴∠BOF＝∠DOF＝60°， 在△BOF和△DOF中， ， ∴△BOF≌△DOF（SAS）， ∴∠OBF＝∠ODF＝90°， ∴DF与⊙O相切． 2.（2020贵州铜仁）如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，连接AC，CE⊥AB于点E，D是直径AB延长线上一点，且∠BCE＝∠BCD． （1）求证：CD是⊙O的切线； （2）若AD＝8，，求CD的长． 【解答】（1）证明：连接OC， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∵CE⊥AB， ∴∠CEB＝90°， ∴∠ECB+∠ABC＝∠ABC+∠CAB＝90°， ∴∠A＝∠ECB， ∵∠BCE＝∠BCD， ∴∠A＝∠BCD， ∵OC＝OA， ∴∠A＝∠ACO， ∴∠ACO＝∠BCD， ∴∠ACO+∠BCO＝∠BCO+∠BCD＝90°， ∴∠DCO＝90°， ∴CD是⊙O的切线； （2）解：∵∠A＝∠BCE， ∴tanAtan∠BCE， 设BC＝k，AC＝2k， ∵∠D＝∠D，∠A＝∠BCD， ∴△ACD∽△CBD， ∴， ∵AD＝8， ∴CD＝4． 3.（2020黑龙江哈尔滨）已知：⊙O是△ABC的外接圆，AD为⊙O的直径，AD⊥BC，垂足为E，连接BO，延长BO交AC于点F． （1）如图1，求证：∠BFC＝3∠CAD； （2）如图2，过点D作DG∥BF交⊙O于点G，点H为DG的中点，连接OH，求证：BE＝OH； （3）如图3，在（2）的条件下，连接CG，若DG＝DE，△AOF的面积为，求线段CG的长． 【解答】证明：（1）∵AD为⊙O的直径，AD⊥BC， ∴BE＝EC， ∴AB＝AC， 又∵AD⊥BC， ∴∠BAD＝∠CAD， ∵OA＝OB， ∴∠BAD＝∠ABO， ∴∠BAD＝∠ABO＝∠CAD， ∵∠BFC＝∠BAC+∠ABO， ∴∠BFC＝∠BAD+∠EAD+∠ABO＝3∠CAD； （2）如图2，连接AG， ∵AD是直径， ∴∠AGD＝90°， ∵点H是DG中点， ∴DH＝HG， 又∵AO＝DO， ∴OH∥AG，AG＝2OH， ∴∠AGD＝∠OHD＝90°， ∵DG∥BF， ∴∠BOE＝∠ODH， 又∵∠OEB＝∠OHD＝90°，BO＝DO， ∴△BOE≌△ODH（AAS）， ∴BE＝OH； （3）如图3，过点F作FN⊥AD，交AD于N， 设DG＝DE＝2x， ∴DH＝HG＝x， ∵△BOE≌△ODH， ∴OE＝DH＝x， ∴OD＝3x＝OA＝OB， ∴BE2x， ∵∠BAE＝∠CAE， ∴tan∠BAE＝tan∠CAE， ∴， ∴ANNF， ∵∠BOE＝∠NOF， ∴tan∠BOE＝tan∠NOF， ∴， ∴ONNF， ∴AO＝AN+ONNF， ∵△AOF的面积为， ∴AO×NFNF2， ∴NF， ∴AONF＝3＝3x， ∴x＝1， ∴BE＝2OH，AE＝4，DG＝DE＝2， ∴AC2， 如图3，连接AG，过点A作AM⊥CG，交GC的延长线于M， 由（2）可知：AG＝2OH＝4， ∵四边形ADGC是圆内接四边形， ∴∠ACM＝∠ADG， 又∵∠AMC＝∠AGD＝90°， ∴△ACM∽△ADG， ∴， ∴， ∴CM，AM， ∴GM， ∴CG＝GM﹣CM． 4.（2020湖北恩施州）如图1，AB是⊙O的直径，直线AM与⊙O相切于点A，直线BN与⊙O相切于点B，点C（异于点A）在AM上，点D在⊙O上，且CD＝CA，延长CD与BN相交于点E，连接AD并延长交BN于点F． （1）求证：CE是⊙O的切线； （2）求证：BE＝EF； （3）如图2，连接EO并延长与⊙O分别相交于点G、H，连接BH．若AB＝6，AC＝4，求tan∠BHE． 【解答】解：（1）如图1中，连接OD， ∵CD＝CA， ∴∠CAD＝∠CDA， ∵OA＝OD ∴∠OAD＝∠ODA， ∵直线AM与⊙O相切于点A， ∴∠CAO＝∠CAD+∠OAD＝90°， ∴∠ODC＝∠CDA+∠ODA＝90°， ∴CE是⊙O的切线． （2）如图2中，连接BD， ∵OD＝OB，