2020年全国各地中考数学压轴题按题型（几何综合）汇编（二）四边形中的计算和证明综合

2020全国各地中考数学压轴题按题型（几何综合）汇编 2、 四边形中的计算和证明综合题 1.（2020安徽）如图1，已知四边形ABCD是矩形，点E在BA的延长线上，AE＝AD．EC与BD相交于点G，与AD相交于点F，AF＝AB． （1）求证：BD⊥EC； （2）若AB＝1，求AE的长； （3）如图2，连接AG，求证：EG﹣DGAG． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，点E在BA的延长线上， ∴∠EAF＝∠DAB＝90°， 又∵AE＝AD，AF＝AB， ∴△AEF≌△ADB（SAS）， ∴∠AEF＝∠ADB， ∴∠GEB+∠GBE＝∠ADB+∠ABD＝90°， 即∠EGB＝90°， 故BD⊥EC， （2）解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AE∥CD， ∴∠AEF＝∠DCF，∠EAF＝∠CDF， ∴△AEF∽△DCF， ∴， 即AE•DF＝AF•DC， 设AE＝AD＝a（a＞0），则有a•（a﹣1）＝1，化简得a2﹣a﹣1＝0， 解得或（舍去）， ∴AE． （3）如图，在线段EG上取点P，使得EP＝DG， 在△AEP与△ADG中，AE＝AD，∠AEP＝∠ADG，EP＝DG， ∴△AEP≌△ADG（SAS）， ∴AP＝AG，∠EAP＝∠DAG， ∴∠PAG＝∠PAD+∠DAG＝∠PAD+∠EAP＝∠DAE＝90°， ∴△PAG为等腰直角三角形， ∴EG﹣DG＝EG﹣EP＝PGAG． 2.（2020黑龙江七台河）以Rt△ABC的两边AB、AC为边，向外作正方形ABDE和正方形ACFG，连接EG，过点A作AM⊥BC于M，延长MA交EG于点N． （1）如图①，若∠BAC＝90°，AB＝AC，易证：EN＝GN； （2）如图②，∠BAC＝90°；如图③，∠BAC≠90°，（1）中结论，是否成立，若成立，选择一个图形进行证明；若不成立，写出你的结论，并说明理由． 【解答】解：（1）证明：∵∠BAC＝90°，AB＝AC， ∴∠ACB＝45°， ∵AM⊥BC， ∴∠MAC＝45°， ∴∠EAN＝∠MAC＝45°， 同理∠NAG＝45°， ∴∠EAN＝∠NAG， ∵四边形ABDE和四边形ACFG为正方形， ∴AE＝AB＝AC＝AG， ∴EN＝GN． （2）如图1，∠BAC＝90°时，（1）中结论成立． 理由：过点E作EP⊥AN交AN的延长线于P，过点G作GQ⊥AM于Q， ∵四边形ABDE是正方形， ∴AB＝AE，∠BAE＝90°， ∴∠EAP+∠BAM＝180°﹣90°＝90°， ∵AM⊥BC， ∴∠ABM+∠BAM＝90°， ∴∠ABM＝∠EAP， 在△ABM和△EAP中， ， ∴△ABM≌△EAP（AAS）， ∴EP＝AM， 同理可得：GQ＝AM， ∴EP＝GQ， 在△EPN和△GQN中， ， ∴△EPN≌△GQN（AAS）， ∴EN＝NG． 如图2，∠BAC≠90°时，（1）中结论成立． 理由：过点E作EP⊥AN交AN的延长线于P，过点G作GQ⊥AM于Q， ∵四边形ABDE是正方形， ∴AB＝AE，∠BAE＝90°， ∴∠EAP+∠BAM＝180°﹣90°＝90°， ∵AM⊥BC， ∴∠ABM+∠BAM＝90°， ∴∠ABM＝∠EAP， 在△ABM和△EAP中， ， ∴△ABM≌△EAP（AAS）， ∴EP＝AM， 同理可得：GQ＝AM， ∴EP＝GQ， 在△EPN和△GQN中， ， ∴△EPN≌△GQN（AAS）， ∴EN＝NG． 3.（2020黑龙江绥化）如图，在正方形ABCD中，AB＝4，点G在边BC上，连接AG，作DE⊥AG于点E，BF⊥AG于点F，连接BE、DF，设∠EDF＝α，∠EBF＝β，k． （1）求证：AE＝BF； （2）求证：tanα＝k•tanβ； （3）若点G从点B沿BC边运动至点C停止，求点E，F所经过的路径与边AB围成的图形的面积． 【解答】解：（1）证明：在正方形ABCD中，AB＝BC＝AD，∠BAD＝∠ABC＝90°， ∵DE⊥AG，BF⊥AG， ∴∠AED＝∠BFA＝90°， ∴∠ADE+∠DAE＝90°， ∵∠BAF+∠DAE＝90°， ∴∠ADE＝∠BAF， ∴△ABF≌△DAE（AAS）， ∴AE＝BF； （2）在Rt△DEF和Rt△EFB中，tanα，tanβ， ∴． 由①可知∠ADE＝∠BAG，∠AED＝∠GBA＝90°， ∴△AED∽△GBA， ∴， 由①可知，AE＝BF， ∴， ∴， ∵k，AB＝BC， ∴k， ∴k． ∴tanα＝ktanβ． （3）∵DE⊥AG，BF⊥AG， ∴∠AED＝∠BFA＝90°， ∴当点G从点B沿BC边运动至点C停止时，点E经过的路径是以AD为直径，圆心角为90°的圆弧， 同理可得点F经过的路径，两弧交于正方形的中心点O，如图． ∵AB＝AD＝4， ∴所围