2020年全国各地中考数学压轴题按题型（几何综合）汇编（一）三角形中的计算和证明综合

2020全国各地中考数学压轴题按题型（几何综合）汇编 1、 三角形中的计算和证明综合题 1.（2020贵州黔东南州）如图1，△ABC和△DCE都是等边三角形． 探究发现 （1）△BCD与△ACE是否全等？若全等，加以证明；若不全等，请说明理由． 拓展运用 （2）若B、C、E三点不在一条直线上，∠ADC＝30°，AD＝3，CD＝2，求BD的长． （3）若B、C、E三点在一条直线上（如图2），且△ABC和△DCE的边长分别为1和2，求△ACD的面积及AD的长． 【解答】解：（1）全等，理由是： ∵△ABC和△DCE都是等边三角形， ∴AC＝BC，DC＝EC，∠ACB＝∠DCE＝60°， ∴∠ACB+∠ACD＝∠DCE+∠ACD， 即∠BCD＝∠ACE， 在△BCD和△ACE中， ， ∴△ACE≌△BCD（ SAS）； （2）如图3，由（1）得：△BCD≌△ACE， ∴BD＝AE， ∵△DCE都是等边三角形， ∴∠CDE＝60°，CD＝DE＝2， ∵∠ADC＝30°， ∴∠ADE＝∠ADC+∠CDE＝30°+60°＝90°， 在Rt△ADE中，AD＝3，DE＝2， ∴AE， ∴BD； （3）如图2，过A作AF⊥CD于F， ∵B、C、E三点在一条直线上， ∴∠BCA+∠ACD+∠DCE＝180°， ∵△ABC和△DCE都是等边三角形， ∴∠BCA＝∠DCE＝60°， ∴∠ACD＝60°， 在Rt△ACF中，sin∠ACF， ∴AF＝AC×sin∠ACF＝1， ∴S△ACD， ∴CF＝AC×cos∠ACF＝1， FD＝CD﹣CF＝2， 在Rt△AFD中，AD2＝AF2+FD23， ∴AD． 2.（2020黑龙江牡丹江）在等腰△ABC中，AB＝BC，点D，E在射线BA上，BD＝DE，过点E作EF∥BC，交射线CA于点F．请解答下列问题： （1）当点E在线段AB上，CD是△ACB的角平分线时，如图①，求证：AE+BC＝CF；（提示：延长CD，FE交于点M．） （2）当点E在线段BA的延长线上，CD是△ACB的角平分线时，如图②；当点E在线段BA的延长线上，CD是△ACB的外角平分线时，如图③，请直接写出线段AE，BC，CF之间的数量关系，不需要证明； （3）在（1）、（2）的条件下，若DE＝2AE＝6，则CF＝　18或6　． 【解答】解：（1）如图①，延长CD，FE交于点M． ∵AB＝BC，EF∥BC， ∴∠A＝∠BCA＝∠EFA， ∴AE＝EF， ∴MF∥BC， ∴∠MED＝∠B，∠M＝∠BCD， 又∵∠FCM＝∠BCM， ∴∠M＝∠FCM， ∴CF＝MF， 又∵BD＝DE， ∴△MED≌△CBD（AAS）， ∴ME＝BC， ∴CF＝MF＝ME+EF＝BC+AE， 即AE+BC＝CF； （2）当点E在线段BA的延长线上，CD是△ACB的角平分线时，BC＝AE+CF， 如图②，延长CD，EF交于点M． 由①同理可证△MED≌△CBD（AAS）， ∴ME＝BC， 由①证明过程同理可得出MF＝CF，AE＝EF， ∴BC＝ME＝EF+MF＝AE+CF； 当点E在线段BA的延长线上，CD是△ACB的外角平分线时，AE＝CF+BC． 如图③，延长CD交EF于点M， 由上述证明过程易得△MED≌△CBD（AAS），BC＝EM，CF＝FM， 又∵AB＝BC， ∴∠ACB＝∠CAB＝∠FAE， ∵EF∥BC， ∴∠F＝∠FCB， ∴EF＝AE， ∴AE＝FE＝FM+ME＝CF+BC； （3）CF＝18或6， 当DE＝2AE＝6时，图①中，由（1）得：AE＝3，BC＝AB＝BD+DE+AE＝15， ∴CF＝AE+BC＝3+15＝18； 图②中，由（2）得：AE＝AD＝3，BC＝AB＝BD+AD＝9， ∴CF＝BC﹣AE＝9﹣3＝6； 图③中，DE小于AE，故不存在． 故答案为18或6． 3.（2020武汉）问题背景：如图（1），已知△ABC∽△ADE，求证：△ABD∽△ACE； 尝试应用：如图（2），在△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，∠ABC＝∠ADE＝30°，AC与DE相交于点F，点D在BC边上，，求的值； 拓展创新 如图（3），D是△ABC内一点，∠BAD＝∠CBD＝30°，∠BDC＝90°，AB＝4，AC＝2，直接写出AD的长． 【解答】问题背景 证明：∵△ABC∽△ADE， ∴，∠BAC＝∠DAE， ∴∠BAD＝∠CAE，， ∴△ABD∽△ACE； 尝试应用 解：如图1，连接EC， ∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∠ABC＝∠ADE＝30°， ∴△ABC∽△ADE， 由（1）知△ABD∽△ACE， ∴，∠ACE＝∠ABD＝∠ADE， 在Rt△ADE中，∠ADE＝30°， ∴， ∴3． ∵∠ADF＝∠ECF，∠AFD＝∠EFC， ∴