专题05 等式与不等式的性质-2020-2021学年新教材高一数学秋季辅导讲义（沪教版2020）

专题05 等式与不等式的性质 知识梳理 1．等式的性质 (1)等式的两边同时加上(减去)同一个数或代数式，等式仍成立； (2)等式的两边同时乘以(除以)同一个不为零的数或代数式，等式仍成立． 2．恒等式 一般地，含有字母的等式，如果其中的字母取任意实数时等式都成立，则称其为恒等式，也称等式两边恒等． 3．方程的解集 一般地，把一个方程所有解组成的集合称为这个方程的解集． 1．一元二次方程的解集 一般地，Δ＝b2－4ac称为一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的判别式． (1)当Δ>0时，方程的解集为{，}； (2)当Δ＝0时，方程的解集为； (3)当Δ<0时，方程的解集为∅． 2．一元二次方程根与系数的关系 若x1，x2是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个根，则x1＋x2＝－，x1x2＝． 一、不等式的性质： （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7）、 （8） （9） （10） 注：在高考中，不等式性质的判断题常有出现，一般我们判断此类问题主要采用两种方法： 其一：按照性质进行判断，此种方法要求我们对不等式性质有一个全面熟练的掌握。 其二：采用赋值法/特殊值法进行判断，此种方法对于证明假命题非常适用； 二、比较两式大小的常见方法：作差法、作商法 作差法：作差是两式比较大小的常用方法，基本步骤如下： 第一步：作差； 第二步：变形，常采用配方，因式分解等恒等变形手段； 第三步：定号，重点是能确定是大于0，还是等于0，还是小于0．最后得结论．概括为“三步，—结论”，这里的“变形”一步最为关键． 注1：有的问题直接作差不容易判断其符号，这时可根据两式的特点考虑先变形，到比较易于判断符号时，再作差，予以比较； 注2：含参不等式的大小判断要注意符号问题，具体根据不等式性质判断．注意分类合理恰当． 作商法： 注：在两式无法确定正负号或是否可能为0的情况下无法适用. 作商法的基本步骤是：①求商，②变形，③与1比大小从而确定两个数的大小. 例题解析 一、等式性质与方程的解集 （1）利用十字相乘法分解单变量多项式 角度一　x2＋(p＋q)x＋pq型式子的因式分解 例1. 分解因式： (1)x2－3x＋2； (2)x2＋4x－12. 【解析】　(1)如图，将二次项x2分解成图中的两个x的积，再将常数项2分解成－1与－2的乘积，而图中的对角线上的两个数乘积的和为－3x，就是x2－3x＋2中的一次项，所以x2－3x＋2＝(x－1)(x－2)． 说明：今后在分解与本例类似的二次三项式时，可以直接将图中的两个x用1来表示(如图)． (2)由图，得 所以x2＋4x－12＝(x－2)(x＋6). 角度二　ax2＋bx＋c型式子的因式分解 例2. 分解因式： (1)6x2＋5x＋1； (2)6x2＋11x－7； (3)42x2－33x＋6； (4)2x4－5x2＋3. 【解析】　(1)由图，得 所以6x2＋5x＋1＝(2x＋1)(3x＋1)． (2)由图，得 所以6x2＋11x－7＝(2x－1)(3x＋7)． (3)由图，得 所以42x2－33x＋6＝(6x－3)(7x－2)． (4)由图，得 所以2x4－5x2＋3＝(x2－1)(2x2－3)＝2(x＋1)(x－1). 【巩固训练】 1. 把下列各式分解因式： (1)x2－3x＋2＝________； (2)x2＋37x＋36＝________； (3)(a－b)2＋11(a－b)＋28＝________； (4)4m2－12m＋9＝________. 【解析】(1)x2－3x＋2＝(x－1)(x－2)． (2)x2＋37x＋36＝(x＋1)(x＋36)． (3)(a－b)2＋11(a－b)＋28 ＝[(a－b)＋4][(a－b)＋7] ＝(a－b＋4)(a－b＋7)． (4)4m2－12m＋9＝(2m－3)2. 答案：(1)(x－1)(x－2) (2)(x＋1)(x＋36) (3)(a－b＋4)(a－b＋7) (4)(2m－3)2 （2）利用十字相乘法分解双变量多项式 角度一　x2＋(p＋q)xy＋pqy2型式子的因式分解 例3. 把下列各式因式分【解析】 (1)a2－2ab－8b2； (2)x＋5－6y(x>0，y>0)； (3)(x＋y)2－z(x＋y)－6z2； (4)m4＋m2n2－6n4. 【解析】　(1)(a＋2b)(a－4b)； (2)(＋6)(－)； (3)(x＋y＋2z)(x＋y－3z)； (4)(m＋n)(m－n)(m2＋3n2)． 角度二　ax2＋bxy＋cy2型式子的因式分解 例4. 把下列各式因式分【解析】 (1)6m2－5mn－6n2； (2)20x2＋7xy－6y2； (3)2x4＋x2y2－3y4； (4)6(x＋y)＋7＋2z(x>0，y