学科网3-2-1精品系列数学2012版 专题12 导数文科

学科网3年高考2年模拟1年备战2012高考精品系列之数学专题十二 极限与导数（文科）教师版 【考点定位】2012考纲解读和近几年考点分布 2012考纲解读 考纲原文：1.导数概念及其几何意义（1）了解导数概念的实际背景。（2）理解导数的几何意义。 2．导数的运算（1）能根据导数定义求函数 的导数。（2）能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数。（3）能求简单的复合函数（仅限于形如 的复合函数）的导数。 3．导数在研究函数中的应用（1）了解函数单调性和导数的关系，能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（其中多项式函数一般不超过三次）。（2）了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值（其中多项式函数一般不超过三次）；会求闭区间了函数的最大值、最小值（其中多项式函数一般不超过三次）。 4．生活中的优化问题会利用导数解决某些实际问题 考纲解读： 选择填空中主要考查导数的几何意义；解答题中主要考查导数的应用（单调性、极值、最值）；要重视用导数解决方程、不等式、曲线（抛物线）的切线问题；要重视分类讨论思想，特别是在求含参函数的单调性时（对含参不等式的解法要多训练）；解答题的函数常为三次函数、指数函数、对数函数（以e为底数）及它们的组合；注意导数的逆用。 近几年考点分布 导数是研究函数的工具，导数进入新教材之后，给函数问题注入了生机和活力，开辟了许多解题新途径，拓展了高考对函数问题的命题空间。所以把导数与函数综合在一起是顺理成章的事情，对函数的命题已不再拘泥于一次函数，二次函数，反比例函数，指数函数，对数函数等，对研究函数的目标也不仅限于求定义域，值域，单调性，奇偶性，对称性，周期性等，而是把高次多项式函数，分式函数，指数型，对数型函数，以及初等基本函数的和、差、积、商都成为命题的对象，试题的命制往往融函数，导数，不等式，方程等知识于一体，通过演绎证明，运算推理等理性思维，解决单调性，极值，最值，切线，方程的根，参数的范围等问题，这类题难度很大，综合性强，内容新，背景新，方法新，是高考命题的丰富宝藏。解题中需用到函数与方程思想、分类讨论思想、数形结合思想、转化与划归思想。 【考点pk】名师考点透析 考点一：利用导数研究曲线的切线 例1：曲线在点处的切线方程为（ ） （A） （B） （C） （D） 解 ：因为 ，所以，在点处的切线斜率，所以，切线方程为，即，故选A. 【名师点睛】求曲线切线方程的步骤：（1）求出函数 在点 的导数，即曲线 在点 处切线的斜率；（2）在已知切点坐标 和切线斜率的条件下，求得切线方程为 。 注：①当曲线 在点 处的切线平行于 轴（此时导数不存在）时，由切线定义可知，切线方程为 ；②当切点坐标未知时，应首先设出切点坐标，再求解。 考点二：利用导数研究导数的单调性 例2：已知函数（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）当时，讨论的单调性. 解（1） 当所以 因此,即曲线又所以曲线 （2）因为,所以 ,令当时，所以 当时，>0，此时，函数单调递减； 当时，<0，此时，函数单调递增. 当时，由，即，解得. ① 当时， ， 恒成立，此时，函数在（0，+∞）上单调递减; ② 当时， ，时，,此时,函数单调递减 时，<0,此时,函数单调递增时，，此时，函数单调递减 ③ 当时，由于,时，,此时,函数单调递减： 时，<0,此时,函数单调递增. 综上所述：当时，函数在上单调递减;函数在上单调递增 当时,函数在上单调递减当时，函数在上单调递减；函数 在上单调递增； 函数在上单调递减. 【名师点睛】利用导数研究函数单调性的一般步骤。（1）确定函数的定义域；（2）求导数 ；（3）①若求单调区间（或证明单调性），只需在函数 的定义域内解（或证明）不等式 ＞0或 ＜0。②若已知 的单调性，则转化为不等式 ≥0或 ≤0在单调区间上恒成立问题求解。 考点三：利用导数研究函数的极值与最值 例3：已知函数（Ⅰ）求函数的单调区间和极值；（Ⅱ）已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，证明当时，（III）如果，且，证明 解（Ⅰ）：f’，令f’(x)=0,解得x=1，当x变化时，f’(x)，f(x)的变化情况如下表 x () 1 () f’(x) + 0 - f(x) 极大值 所以f(x)在()内是增函数，在()内是减函数。函数f(x)在x=1处取得极大值f(1)且f(1)= （Ⅱ）证明：由题意可知g(x)=f(2-x),得g(x)=(2-x)令F(x)=f(x)-g(x), 即于是 当x>1时，2x-2>0,从而’(x)