贵州省安龙三中2011-2012学年高一下学期3月月考数学试题

中学学科网（WWW.ZXXK.COM）- 全国最大的教育资源门户网站。 贵州省安龙三中2011-2012学年高一下学期3月月考数学试题 I 卷 一、选择题 1．已知三个平面α、β、γ，若β⊥γ，且α与γ相交但不垂直，a，b分别为α，β内的直线，则(　　) A．∃a⊂α，a⊥γ B．∃a⊂α，a∥γ C．∀b⊂β，b⊥γ D．∀b⊂β，b∥γ 【答案】B 2．一个空间几何体的正视图、侧视图均是长为2、高为3的矩形，俯视图是直径为2的圆(如右图），则这个几何体的表面积为（ ） A．12+ B．7 C． D． 【答案】C 3．下列三个命题，其中正确的有 ( ） ①用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台； ②两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台； ③有两个面互相平行，其余各面都是等腰梯形的六面体是棱台. A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】A 4．已知某个几何体的三视图如图（主视图的弧线是半圆），根据图中标出的数据，这个几何体的体积是 ( ） A．288+36 B．60 C．288+72 D．288+18 【答案】A 5．一个与球心距离为1的平面截球所得的圆面面积为4π，则球的表面积为(　　) A．5π B．17π C．20π D．68π 【答案】C 6． 一个二面角的两个面分别垂直于另一个二面角的两个面，那么这两个二面角（    ） A．相等 B．互补 C．相等或互补 D．不能确定 【答案】D 7．已知正方体的外接球的体积是，则这个正方体的棱长是(　　) A．　　　　　　　　　 B． C． D． 【答案】D 8． 已知水平放置的△ABC的直观图△A′B′C′（斜二测画法）是边长为a的正三角形，则原△ABC的面积为 ( ） A．a2 B．a2 C．a2 D．a2 【答案】D 9．一个几何体按比例绘制的三视图如图12－8所示(单位：m)，则该几何体的体积为(　　) A．4 m3 B． m3 m3 C．3 m3 D． 图12－9 【答案】C 10．下图是长和宽分别相等的两个矩形．给定下列三个命题：①存在三棱柱，其正视图、俯视图如下图；②存在四棱柱，其正视图、俯视图如下图；③存在圆柱，其正视图、俯视图如下图．其中真命题的个数是(　　) A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】A 11．半径为的球内接正四面体的体积为(　　) A． B． C．2 D． 【答案】A 12．高为的四棱锥S－ABCD的底面是边长为1的正方形，点S、A、B、C、D均在半径为1的同一球面上，则底面ABCD的中心与顶点S之间的距离为(　　) A． B． C．1 D． 【答案】C II卷 二、填空题 13．如图，网格纸的小正方形的边长是1，在其上用粗线画出了某多面体的三视图，则这个多面体最长的一条棱的长为 . 【答案】 14．一个几何体的三视图如图12－10所示，则该几何体的体积等于________． 【答案】8＋π 15．设A，B，C，D是半径为2的球面上的四点，且满足AB⊥AC，AD⊥AC，AB⊥AD，则S△ABC＋S△ABD＋S△ACD的最大值是________． 【答案】8 16．有一棱长为a的正方体骨架，其内放置一气球，使其充气且尽可能地大(仍保持为球的形状)，则气球表面积的最大值为________． 【答案】2πa2 三、解答题 17．如图所示，四棱锥P—ABCD的底面ABCD是半径为R的圆的内接四边形，其中BD是圆的直径，∠ABD＝60°，∠BDC＝45°，△ADP∽△BAD. (1)求线段PD的长； (2)若PC＝R，求三棱锥P—ABC的体积． 【答案】(1)∵BD是圆的直径， ∴∠BAD＝90°，又△ADP∽△BAD， ∴＝3R. ＝＝，DP＝＝ (2)在Rt△BCD中，CD＝BDcos45°＝R， ∵PD2＋CD2＝9R2＋2R2＝11R2＝PC2， ∵PD⊥CD，又∠PDA＝90°，∴PD⊥底面ABCD. S△ABC＝R2，则三棱锥P—ABC的体积为 )＝·＋·R·(R·AB·BCsin(60°＋45°)＝ VP－ABC＝R3. R2·3R＝··S△ABC·PD＝ 18．如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F。 (1）证明PA//平面EDB； (2）证明PB⊥平面EFD； 【答案】（1）证明：连结AC，AC交BD于O，连结EO。 ∵底面ABCD是正方形，∴点O是AC的中点 在中，EO是中位线，∴PA // EO 而平面EDB且平面EDB， 所以，PA // 平面EDB (2）∵PD⊥底面ABCD且底面ABCD， ∴ ∵PD=DC，可知是等腰直角三角形，而DE是斜边PC的中线， ∴。 ① 同理由PD⊥底面ABCD，得PD⊥BC。 ∵底面ABCD是正方形，有DC⊥BC，∴BC⊥平面PDC。 而平面PDC，∴。 ② 由①和②推得平面PBC。 而平面PBC，∴ 又∵EF⊥PB，∴PB⊥平面EFD 19．如图，在底面是直角梯形的四棱锥P—ABCD中，AD∥BC，∠DAB=90º，PA⊥平面ABCD，PA=AB=BC=1，AD=2，M是PD的中点。 (1）求证：MC∥平面PAB； (2）在棱PD上求一点Q，使二面角Q—AC—D的正切值为。 【答案】（1）过M作MN∥PA交AD于N，连接CN， ∵PA⊥平面ABCD且MP=MD，∴MN⊥平面ABCD且NA=ND， ∴AB=BC=AN=CN=1， 又∠NAB=90º，DA∥BC，∴四边形ABCN为正方形， ∴AB∥NC，∴平面PAB∥平面MNC。 ∴MC∥平面PAB。 (2）在（1）中连接NB交AC于O，则NO⊥AC，连接MO，∵MN∥平面ABCD， MO⊥AC，∴∠MON就是二面角M—AC—D的平面角，∵tan∠MON=， ∴点M就是所求的Q点。 20．在如图所示的空间几何体中，平面ACD⊥平面ABC，AB＝BC＝CA＝DA＝DC＝BE＝2，BE和平面ABC所成的角为60°，且点E在平面ABC上的射影落在∠ABC的平分线上． (1)求证：DE∥平面ABC； (2)求多面体ABCDE的体积． 【答案】(1)证明：由题意知，△ABC，△ACD都是边长为2的等边三角形， 取AC中点O，连接BO，DO， 则BO⊥AC，DO⊥AC. ∵平面ACD⊥平面ABC， ∴DO⊥平面ABC，作EF⊥平面ABC， 那么EF∥DO，根据题意，点F落在BO上， ∴∠EBF＝60°，易求得EF＝DO＝， 所以四边形DEFO是平行四形，DE∥OF. ∵DE⊄平面ABC，OF⊂平面ABC， ∴DE∥平面ABC. (2)∵平面ACD⊥平面ABC，OB⊥AC， ∴OB⊥平面ACD. 又∵DE∥OB， ∴DE⊥平面DAC. ∴三棱锥E－DAC的体积 V1＝．－1)＝·(·S△DAC·DE＝ 又三棱锥E－ABC的体积 V2＝＝1， ··S△ABC·EF＝ ∴多面体ABCDE的体积为V＝V1＋V2＝． 21．棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上，若过该球球心的一个截面如图所示，求图中三角形(正四面体的截面)的面积． 【答案】如图所示，△ABE为题中的三角形， 由已知得AB＝2，BE＝2×， ＝ BF＝， BE＝ AF＝， ＝ ＝ ∴△ABE的面积为 S＝×BE×AF ＝．＝× × ∴所求的三角形的面积为． 22．已知一四棱锥P－ABCD的三视图如下，E是侧棱PC上的动点。 (1）求四棱锥P－ABCD的体积； (2）是否不论点E在何位置，都有BD⊥AE？证明你的结论; (3）求四棱锥P－ABCD的侧面积. 【答案】由该四棱锥的三视图可知，该四棱锥P－ABCD的底面是边长为1的正方形， 侧棱PC⊥底面ABCD，且PC=2. ∴ (2) 不论点E在何位置，都有BD⊥AE。证明如下：连结AC，∵ABCD是正方形 ∴BD⊥AC ∵PC⊥底面ABCD 且平面　∴BD⊥PC- 又∵ ∴BD⊥平面PAC　∵不论点E在何位置，都有AE平面PAC ∴不论点E在何位置，都有BD⊥AE (3) 由（１）知PC⊥CD,PC⊥BC,CD=CB, ∴Rｔ△PCD≌Rｔ△PCB ∵AB⊥BC,AB⊥PC,　　∴AB⊥平面PCB　∵PB平面PBC，∴AB⊥PB 同理AD⊥PD，∴四棱锥P－ABCD的侧面积==2+ 联系地址：北京市房山区燕化星城北里1号楼4-502 邮政编码：102413 联系电话：010-58425255 58425256 58425257 传真：010-89313898 联系邮箱：czfw@zxxk.com 第1页 $$