第5讲 相交与平行(最优化问题)-四年级奥数上册同步精讲精练（西师大版）

251 例4 (1)95×105=(105-5)×(100+5)=1002-52=10000-25=9975 (2)632-372=(63+37)×(63-37)=100×26=2600 [同步精练] 1.46×34=(40+6)×(40-6)=402-62=1600-36=1564 2.652-352=(65+35)×(65-35)=100×30=3000 3.103×97=(100+3)×(100-3)=1002-32=10000-9=9991 练 习 卷 1.125×1001=125125 2.29×11=319 3.28×88=2464 4.19922-19912=3983 5.123×101=12423 6.1992×2008=3999936 7.36×34=1224 8.365×11=4015 9.83×87=7221 10.161×169=27209 第五讲 相交与平行(最优化问题) 例1 解:船停靠在 P 点处,小冬和小李两人所走的路程之和最短。 252 [同步精练] 1. 2. 3. 例2 解:如图,桥应建在CD 处。 [同步精练] 1. 2. 253 3. 例3 解:不难找到从 A 到B 的所有最短路线,即: A→C→D→G→B A→C→F→G→B A→C→F→I→B A→E→F→G→B A→E→F→I→B A→E→H→I→B 这道题实际上可以用标数字相加的方法找到 最短路线走法的规律,如图(一般来说,从出发点,横、竖两条线段上的交 点分别表示1,然后把对角线上的数相加,这样便可求出不同的走法)。 答:共有6条最短路线的走法。 [同步精练] 1. 从家到学校共有20条最近路线的走法 2. 共有15种不同的走法 例4 解:从一个顶点向两边分别标上数字 数出各有线段条数 3×4÷2=6(条) 2×3÷2=3(条) 共有平行四边形:6×3=18(个) 254 [同步精练] (1) (2) 2×3÷2=3(条) 3×4÷2=6(条) 3×6=18(个) 3×4÷2=6(条) 6×6=36(个) (3) 2×3÷2=3(条) 4×5÷2=10(条) 10×3=30(个) 练 习 卷 1. 2. 桥应建在 PA 处 255 3. 共6种 4. 共35种 5. 6.(1)30个 (2)60个 7. 8. 或 答案 不唯一 $$ 27 第五讲 相交与平行(最优化问题) 【知识概述】 同学们都有这样的体会:从一个地方到另一个地方,两地之间有许多 路,就有许多种走法,从中选择一条最近的路,也就是要选择一条最短的路 线;或者利用平行和垂直的知识,很快数出图形的个数,称为“最优化问题”。 在解决最优化问题时需要注意以下几点:一是两点之间线段最短;二 是尽量不走回头路和重复路。 最优化问题有时只有一种,有时有许多种,可以按照一定的逻辑顺序 来排列可能走的路线,借助图表用标数法完成,要求不重复也不遗漏,并 要注意题中的特定要求。 例题精学 例1 下图中,小冬和小李分别住在 M、N 两地,如果他们要步行到河边 坐同一条船,请问,船停靠在何处,小冬和小李两人所走的路程和最短? 【思路点拨】 利用对称 原 理,首 先 在 河 的 另 一 侧 找 到 以 河 为 对 称 轴 的 对 称点 Q,再连接 QN,如 右 上 图,QN 与 河 的 交 点 设 为P。因 为 两 点 之 间 线段最短,所 以 QN 是 两 点 间 最 短 的 距 离,又 因 为 M 和Q 是 对 称 点,所 以 MP=QP,因此,MP 和NP 的长度之和与QN 的长度相等。 28 同步精练 1.李大妈家在 A 处,她要从 A 处去河边挑水,然后把水送到B 处的 菜地浇菜。请帮忙找一条最短的路线,在下图中表示出来。 2.如图,甲、乙两村想在小河边合修一个取水码头,请问:这个码头的 点选在何处,才能使甲、乙两村取水时所走的路程和最短? 3.将军骑着一匹马走到 A 点时,马渴了,要到河边喝水,然后要到位 于B 点的军营。怎样走才能使行走的路线最短? 29 例2 A、B 两村中间隔了一条河(如图),现在要在小河上架一座桥,要求 A、B 两村之间行程最短,怎样在河两岸选择架桥地点? 【思路点拨】 在 河 上 架 桥,桥 总 是 垂 直 于 河 岸,桥 的 长 度 相 当 于 河 的 宽 度,因此,最短路线必然是条折线。不论桥架在哪里,从 A 到B 都要经过 这座桥,所以可以事先把这座桥的距离扣除。通过画图,用图解法求架桥 的地点。 从 A 点 作 河 岸 垂 线,并 在 垂 线 上 取 AE 等 于 河 宽(相 当 于 把 河 宽 预 先扣除)。因此,B、E 间最 短 线 的 长,也 就 等 于 B、A