数学：第六章《三角函数》（沪教版高一下册，教案+学案+课件+同步练习，23份）

高考资源网（ www.ks5u.com），您身边的高考专家 高考资源网（ www.ks5u.com），您身边的高考专家 6.4反三角函数（1）——反正弦函数 上海市交通大学附属中学 曹建华 一、教学内容分析 根据反函数的概念，正弦函数y=sinx（x∈R）没有反函数.但是如果我们适当选取实数集R的一个子集[- ， ]，那么函数y=sinx， x∈[- ， ]就存在反函数，为什么要选取[- ， ]，教师要作必要性说明.我们把函数y=sinx， x∈[- ， ]的反函数叫做反正弦函数，记作y=arcsinx，x∈[-1，1]，学生对符号的arcsinx的理解比较困难，前面符号中的x必须满足|x|≤1，arcsinx是[- ， ]上的一个角的弧度数，这个角的正弦值为x.根据互为反函数间的图像关系，函数y=arcsinx，x∈[-1，1]的图像和函数y=sinx， x∈[- ， ]的图像应该关于直线y=x对称，这样容易作出反正弦函数的图像，根据其图像可以得到反正弦函数y=arcsinx，x∈[-1，1]是奇函数，且单调递增. 二、教学目标设计 1．理解函数y=sinx（x∈R）没有反函数；理解函数y=sinx， x∈[- ， ]有反函数；理解反正弦函数y=arcsinx的概念，掌握反正弦函数的定义域是[-1，1]，值域是[- ， ]. 2．知道反正弦函数y=arcsinx ，x∈[-1，1]的图像. 3．掌握等式sin（arcsinx）=x，x∈[-1，1]和arcsin（-x）=-arcsinx，x∈[-1，1]. 4．能够熟练计算特殊值的反正弦函数值，并能用反正弦函数值表示角. 5．会用数形结合等数学思想分析和思考问题. 三、教学重点及难点 教学重点：理解反正弦函数概念以及反正弦函数符号的本质. 教学难点：反正弦函数 的产生和从本质上处理正弦函数 的反函数问题. 四、教学用具准备 直尺、多媒体设备 五、教学流程设计 六、教学过程设计 一、 情景引入 1．复习 我们学习过反函数，知道，对于函数y=f（x），x∈D，如果对它的值域中的任意一个值y，在定义域D中都有唯一确定的值x与它对应，使y=f（x），这样得到的x关于y的函数叫做y=f（x）的反函数.我们也明确不是任何一个函数都存在反函数.函数要存在反函数必须要求其自变量与因变量是一一对应的. 2．思考 那么正弦函数是否存在反函数呢？ [说明] 因为对于任一正弦值 都有无数个角值 与之对应.正弦函数的自变量与因变量是多对一的.故而不存在反函数. 3．讨论 正弦函数不存在反函数.但只要选取某一区间使得 在该区间上存在反函数.因变量可以确定自变量，正弦值可以表示相应的角值，并且将该区间上的角值用相应的正弦值表示就可以了.学生讨论应该选取怎样的区间，使得 存在反函数呢？ 这个区间的选择依据两个原则： （1） 在所取区间上存在反函数； （2）能取到 的一切函数值 . 可以选取闭区间 ，使得 在该区间上存在反函数，而这个反函数就是今天要学习的反正弦函数. 二、学习新课 1．概念辨析 （1）反正弦函数的定义： 函数y=sinx， x∈[- ， ]的反函数叫做反正弦函数，记作y=arcsinx，x∈[-1，1]. （2）反正弦函数的性质： ①图像 ②定义域[-1，1] ③值域[- ， ] ④奇偶性：奇函数，即arcsin（-x）=-arcsinx，x∈[-1，1] ⑤单调性：增函数 [说明]互为反函数的两个函数图像关于直线 对称，函数y=sinx，x∈[- ， ]与函数y=arcsinx，x∈[-1，1]的图像关于直线 对称. 2．例题分析 例1．求下列反正弦函数的值： （1）arcsin ；（2）arcsin0；（3）arcsin（- ） 解：（1）因为sin = ，且 ∈[- ， ]，所以arcsin = . （2）因为sin0=0，且0∈[- ， ]，所以arcsin0=0. （3）因为sin（- ）=- ，且- ∈[- ， ]，所以arcsin（- ）=- . 例2．用反正弦函数值的形式表示下列各式的x： （1）sinx= ，x∈[- ， ]； （2）sinx=- ，x∈[- ， ]； （3）sinx=- ，x∈[-π，0]. 解：（1）因为x∈[- ， ]，由定义，可知x=arcsin ； （2）因为x∈[- ， ]，由定义，可知x=arcsin（- ）=- arcsin ； （3）在区间[- ，0] 上，由定义，可知x=