【精品奥数】六年级下册数学思维训练讲义-第十八讲 同余问题 人教版（含答案）

第十八讲 同余问题 第一部分：趣味数学 韩信巧点兵 大将军韩信去校场清点兵马。1000名左右的士兵整整齐齐地排列在操场上。韩信身披战袍,威风凛凛地挥动令旗,开始指挥军队。韩信把手中的令旗向左一挥,士兵们的队形立刻开始变化,排成了3列纵队,韩信看到,最后一排不足3人,只有2人。接着,令旗向右一挥,队形又变化了,这回变成了5列纵队,仍然还有一排人数不足5人,只有3人，韩信又记下了这一排的人数。最后,令旗向上一扬,士兵们马上又变成了7列纵队,最后一排是两个人。 阅兵结束,韩信叫来值日官,说:“你知道一共有多少士兵吗?”值日胀红了脸,说:“这个,我得先去查查花名册。”韩信笑道:“不用查了,一共有1073个士兵。”值日官非常惊讶,说:“大将军真是神人啊,居然可以未卜先知。”韩信摇摇头,说:“我是根据士兵的队列变化算出来的。” 那么,韩信是怎么算的呢?原来啊,韩信看到,士兵排成3列剩2人,排成5列剩3人,排成7列剩2人,那么,根据余数的性质,总人数除以3余2，除以5余3,除以7余2。所以,只要求出满足以上条件的1000附近的数就行了。韩信经过计算,得出这个数是1073。因此,士兵的总人数就是1073个。 第二部分：习题精讲 专题简析： 同余这个概念最初是由伟大的德国数学家高斯发现的。同余的定义是这样的： 两个整数a，b，如果它们除以同一自然数m所得的余数想同，则称a，b对于模m同余。记作：a≡b（mod　ｍ）。读做：ａ同余于ｂ模ｍ。比如，12除以5，47除以5，它们有相同的余数2，这时我们就说，对于除数5，12和47同余，记做12≡47（mod　5）。 同余的性质比较多，主要有以下一些： 性质（1）：对于同一个出书，两个数之和（或差）与它们的余数之和（或差）同余。比如：32除以5余数是2，19除以5余数是4，两个余数的和是2+4=6。“32+19”除以5的余数就恰好等于它们的余数和6除以5的余数。也就是说，对于除数5，“32+19”与它们的余数和“2+4”同余，用符号表示就是：32≡2（mod　5），19≡4（mod　5），32+19≡2+4≡1（mod　5） 性质（2）：对于同意个除数，两个数的乘积与它们余数的乘积同余。 性质（3）：对于同意个除数，如果有两个整数同余，那么它们的差就一定能被这个除数整除。 性质（4）：对于同意个除数，如果两个整数同余，那么它们的乘方仍然