【决胜小升初】6、立体图形-小升初奥赛讲义-小升初奥赛讲义

立体图形 1.立体图形展开图 例题1 李老师有一个正方体教具，里面放了一个礼品，准备送给答对问题的同学。下面的四副展开图中，哪幅是图中正方体的展开图？（向下翻折） 解析：此题主要考察学生观察物体的能力，培养基本的空间观念。观察上面的正方体，可知A、B、C三个面两两相邻，即三个面有一个公共顶点。再看四个展开图，图（1）中A与C不相邻，是相对的两个面，不符合题意；图（3）中C与B是相对的两个面，也不合题意；图（2）、图（4）中A、B、C三个面都两两相邻，若向下翻折，使C在上面，A在前面，则图（2）中B在A的左边，不合题意，图（4）中B在A的右边，与原正方体符合，故正方体的展开图为图（4）。 练习1 图（）是左边这个正方体的展开图。 练习2 如图，这是一个长方体的展开图。如果F面在前面，从左面看是B 面，那么（ ）面在上面。 [来源:学&科&网Z&X&X&K] [来源:Zxxk.Com] 例题2[来源:Z&xx&k.Com] 有一个正方体，将它的表面全部涂成红色。如果把它切割成64个小正方体（如下图），那么在这些小正方体中，一面有红色、两面有红色、三面有红色的各有多少个？[来源:学科网] 解析：大正方体被切割成小正方体后，一面有红色的是大正方体每个面的最中间的那四块（如A），两面有红色的是大正方体每条棱中间的那两块（如B），三面有红色的是大正方体顶点处的那一块（如C）。因为正方体有6个面、12条棱和8个顶点，所以一面有红色的有24个，两面有红色的有24个，三面有红色的有8个。 练习1 下图是表面涂满了红色的正方体，在它的面上等距离的横竖各切两刀，共得到27个同等的小正方体。 （1）在这27个小正方体中，三面红色、两面红色、一面红色以及各面都没有红色的小正方体各有多少个？ （2）要想按上述方式切出120个大小一样、各面都没有红色的小正方体，至少应当在这个正方体的各面上切几刀（各面切的刀数一样）？ （3）要想产生53个仅有一面涂有红色的小正方体，至少应在各面上切几刀（各面切的刀数一样）？ [来源:Z*xx*k.Com] [来源:Zxxk.Com] 2.表面积体积 例题1[来源:Z|xx|k.Com] 一个长方体，如果高增加3厘米就成为一个正方体，且表面积会增加84平方米。那么原来这个长方体的体积是多少？ 解析：此题主要考查长方体和正方体的综合应用。增加的表面积=原来长方体的地面周长×增加的高，由题意知，原来长方体的底面是正方形，从而可以求得原来长方体的底面长和宽，也就是正方体的棱长，再用棱长减去增加的高就得到原长方体的高。 底面周长：84÷3=28㎝ 底面边长：28÷4=7㎝ 正方体棱长与底面边长相等。 原长方体的高：7-3=4㎝ 原长方体的体积：7×7×4=196㎝³ [来源:学*科*网Z*X*X*K] 练习1 一个长方体，高增加2厘米就成正方体，且体积增加72立方厘米。原来这个长方体的体积是（ ）立方厘米。 练习2 长方体表面积是360平方厘米，它恰好可以切成两个相同的正方体。每个正方体的体积是（ ）立方厘米。 例题2 计算下面图形的体积。（单位：cm）[来源:学科网ZXXK] 解析：该图是一个不规则的立体图形，不能直接求出它的体积。可以通过“补形”拼成一个圆柱，如下图所示，所求的体积是圆柱体积的一半。同样也可以将这个立体图形分割成一个圆柱和一个小的不规则立体图形，再类似地对小的不规则立体图形进行“补形”来求其体积。 练习1 求下面立体图形的体积。（单位：厘米） （1） （2）[来源:学+科+网] [来源:学。科。网Z。X。X。K] [来源:Z|xx|k.Com] 例题3[来源:学|科|网] 有一种饮料瓶的瓶身呈圆柱形（不包括瓶颈），容积是500毫升。现在瓶中装有一些饮料，正放时饮料高度为20厘米，倒放时空余部分的高度为5厘米（见下图）。瓶内现有饮料多少毫升？ 解析：瓶子的形状不规则，并且不知道底面的半径，似乎无法计算。比较一下正放与倒放，因为瓶子的容积不变，装的饮料的体积不变，所以空余部分的体积应当相等。将正放与倒放的空余部分变换一下位置，可以看出饮料瓶的容积应当等于底面积不变、高为（20+5）厘米的圆柱的体积，所以饮料占瓶子容积的，从而可求出瓶内饮料的体积。 20+5=25（厘米） 500×=400（毫升) 练习1 小玲奶奶生病住院，护士要给她输液400毫升，每分钟输液2.5毫升，24分钟后小玲看到倒着的吊瓶上水平面的数据是150毫升。吊瓶的容积是（ ）毫升。 练习2 一个酒精瓶，它的瓶身呈圆柱形（不包括瓶颈），如下图。已知它的容积为240毫升，当瓶子正放时，瓶内的酒精的液面高为6厘米；瓶子倒放时，空余部分的高为2厘米。瓶内酒精的体积