五年级奥数讲义：第17讲 位值原则

第17讲 位值原则 　 　同一个数字，由于它在所写的数里的位置不同，所表示的数也不同。也就是说，每一个数字除了本身的值以外，还有一个“位置值”。例如“5”，写在个位上，就表示5个一；写在十位上，就表示5个十；写在百位上，就表示5个百；等等。这种把数字和数位结合起来表示数的原则，称为写数的位值原则。 　　 我们通常使用的是十进制计数法，其特点是“满十进一”。就是说，每10个某一单位就组成和它相邻的较高的一个单位，即10个一，叫做“十”，10个十叫做“百”，10个百叫做“千”，等等。写数时，从右端起，第一位是个位，第二位是十位，第三位是百位，第四位是千位，等等（见下图）。 　　 用阿拉伯数字和位值原则，可以表示出一切整数。例如，926表示9个百，2个十，6个一，即926=9×100+2×10+6。根据问题的需要，有时我们也用字母代替阿拉伯数字表示数，如： 　　其中a可以是1～9中的数码，但不能是0，b和c是0～9中的数码。 下面，我们利用位值原则解决一些整数问题。 个数之差必然能被9整除。例如，（97531-13579）必是9的倍数。 例2有一个两位数，把数码1加在它的前面可以得到一个三位数，加在它的后面也可以得到一个三位数，这两个三位数相差666。求原来的两位数。 分析与解：由位值原则知道，把数码1加在一个两位数前面，等于加了100；把数码1加在一个两位数后面，等于这个两位数乘以10后再加1。 　　设这个两位数为x。由题意得到（10x+1）-（100+x）=666， 10x+1-100-x=666， 　　10x-x=666-1+100， 9x=765，　x=85。　原来的两位数是85。 例3 a，b，c是1～9中的三个不同的数码，用它们组成的六个没有重复数字的三位数之和是（a+b+c）的多少倍？ 分析与解：用a，b，c组成的六个不同数字是 这六个数的和等于将六个数的百位、十位、个位分别相加，得到 abc+acb+bac+bca+cab+cba=100×(a+a+b+b+c+c)+10×(b+c+a+c+a+b)+(c+b+c+a+b+a) =200(a+b+c)+20(a+b+c)+2(a+b+c)=222(a+b+c　所以，六个数的和是（a+b+c）的222倍。 例4用2，8，7三张数字卡片可以组成若干个不同的三位数，所有这些三位数的平均值是多少？