五年级奥数讲义：第14讲 余数问题

第14讲 余数问题 　　在整数的除法中，只有能整除与不能整除两种情况。当不能整除时，就产生余数，所以余数问题在小学数学中非常重要。 　　余数有如下一些重要性质（a，b，c均为自然数）： 　　（1）余数小于除数。 　　（2）被除数=除数×商+余数；除数=（被除数-余数）÷商；　商=（被除数-余数）÷除数。 　　（3）如果a，b除以c的余数相同，那么a与b的差能被c整除。例如，17与11除以3的余数都是2，所以17-11能被3整除。 　　（4）a与b的和除以c的余数，等于a，b分别除以c的余数之和（或这个和除以c的余数）。例如，23，16除以5的余数分别是3和1，所以（23+16）除以5的余数等于3+1=4。注意：当余数之和大于除数时，所求余数等于余数之和再除以c的余数。例如，23，19除以5的余数分别是3和4，所以（23+19）除以5的余数等于（3+4）除以5的余数。 　　（5）a与b的乘积除以c的余数，等于a，b分别除以c的余数之积（或这个积除以c的余数）。例如，23，16除以5的余数分别是3和1，所以（23×16）除以5的余数等于3×1=3。注意：当余数之积大于除数时，所求余数等于余数之积再除以c的余数。例如，23，19除以5的余数分别是3和4，所以（23×19）除以5的余数等于（3×4）除以5的余数。 例1 5122除以一个两位数得到的余数是66，求这个两位数。 　　分析与解：由性质（2）知，除数×商=被除数-余数。5122-66=5056， 　　 5056应是除数的整数倍。将5056分解质因数，得到5056=26×79。 　　 由性质（1）知，除数应大于66，再由除数是两位数，得到除数在67～99之间，符合题意的5056的约数只有79，所以这个两位数是79。 例2 被除数、除数、商与余数之和是2143，已知商是33，余数是52，求被除数和除数。 　　解：因为被除数=除数×商+余数=除数×33+52， 　　被除数=2143-除数-商-余数=2143-除数-33-52=2058-除数， 　　所以 除数×33+52=2058-除数，所以 除数=（2058-52）÷34=59，被除数=2058-59=1999。 例3 甲、乙两数的和是1088，甲数除以乙数商11余32，求甲、乙两数。 　　解：因为 甲=乙×11+32，　所以 甲+乙=乙×11+32