五年级奥数讲义：第13讲 最大公约数与最小公倍数（二）

第13讲 最大公约数与最小公倍数（二） 　这一讲主要讲最大公约数与最小公倍数的关系，并对最大公约数与最小公倍数的概念加以推广。 　在求18与12的最大公约数与最小公倍数时，由短除法 可知，（18，12）=2×3=6，[18，12]=2×3×3×2=36。如果把18与12的最大公约数与最小公倍数相乘，那么 　　（18，12）×[18，12]=（2×3）×（2×3×3×2）=（2×3×3）×（2×3×2）=18×12。 　 　也就是说，18与12的最大公约数与最小公倍数的乘积，等于18与12的乘积。当把18，12换成其它自然数时，依然有类似的结论。从而得出一个重要结论： 两个自然数的最大公约数与最小公倍数的乘积，等于这两个自然数的乘积。即， 　　（a，b）×[a，b]=a×b。 例1 两个自然数的最大公约数是6，最小公倍数是72。已知其中一个自然数是18，求另一个自然数。 　解：由上面的结论，另一个自然数是（6×72）÷18=24。 例2 两个自然数的最大公约数是7，最小公倍数是210。这两个自然数的和是77，求这两个自然数。 　分析与解：如果将两个自然数都除以7，则原题变为：“两个自然数的最大公约数是1，最小公倍数是30。这两个自然数的和是11，求这两个自然数。” 　　 改变以后的两个数的乘积是1×30=30，和是11。30=1×30=2×15=3×10=5×6， 由上式知，两个因数的和是11的只有5×6，且5与6互质。因此改变后的两个数是5和6，故原来的两个自然数是7×5=35和7×6=42。 例3 已知a与b，a与c的最大公约数分别是12和15，a，b，c的最小公倍数是120，求a，b，c。 分析与解：因为12，15都是a的约数，所以a应当是12与15的公倍数，即是[12，15]=60的倍数。再由[a，b，c]=120知， a只能是60或120。[a，c]=15，说明c没有质因数2，又因为[a，b，c]=120=23×3×5，所以c=15。 　　 因为a是c的倍数，所以求a，b的问题可以简化为：“a是60或120，（a，b）=12，[a，b]=120，求a，b。” 　当a=60时，　b=（a，b）×[a，b]÷a=12×120÷60=24； 　当a=120时，b=（a，b）×[a，b]÷a =12×120÷120=12。 　　所以a，b，c