五年级奥数讲义：第11讲 分解质因数

第11讲 分解质因数 　　 自然数中任何一个合数都可以表示成若干个质因数乘积的形式，如果不考虑因数的顺序，那么这个表示形式是唯一的。把合数表示为质因数乘积的形式叫做分解质因数。 　例如，60=22×3×5， 1998=2×33×37。 例1 一个正方体的体积是13824厘米3，它的表面积是多少？ 分析与解：正方体的体积是“棱长×棱长×棱长”，现在已知正方体的体积是13824厘米3，若能把13824写成三个相同的数相乘，则可求出棱长。为此，我们先将13824分解质因数： 　　把这些因数分成三组，使每组因数之积相等，得13824=（23×3）×（23×3）×（23×3）， 　　于是，得到棱长是23×3=24（厘米）。所求表面积是24×24×6=3456（厘米2）。 例2 学区举行团体操表演，有1430名学生参加，分成人数相等的若干队，要求每队人数在100至200之间，共有几种分法？ 分析与解：按题意，每队人数×队数=1430，每队人数在100至200之间，所以问题相当于求1430有多少个在100至200之间的约数。为此，先把1430分解质因数，得1430＝2×5×11×13。 　　 从这四个质数中选若干个，使其乘积在100到200之间，这是每队人数，其余的质因数之积便是队数。 　　2×5×11=110，13； 2×5×13=130，11； 11×13=143，2×5=10。 所以共有三种分法，即分成13队，每队110人；分成11队，每队130人；分成10队，每队143人。 例3 1×2×3×…×40能否被90909整除？ 分析与解：首先将90909分解质因数，得 90909=33×7×13×37。　　 因为33（=27），7，13，37都在1～40中，所以1×2×3×…×40能被90909整除。 例4 求72有多少个不同的约数。 　　分析与解：将72分解质因数得到72=23×32。根据72的约数含有2和3的个数，可将72的约数列表如下： 　　上表中，第三、四行的数字分别是第二行对应数字乘以3和32，第三、四、五列的数字分别是第二列对应数字乘以2，22和23。对比72=23×32，72的任何一个约数至多有两个不同质因数：2和3。因为72有3个质因数2，所以在某一个约数的质因数中，2可能不出现或出现1次、出现2次、出现3次，这就有4种情况；同理，因为72有