五年级奥数讲义：第10讲 质数与合数

第10讲 质数与合数 　　自然数按照能被多少个不同的自然数整除可以分为三类： 　　第一类：只能被一个自然数整除的自然数，这类数只有一个，就是1。 　　第二类：只能被两个不同的自然数整除的自然数。因为任何自然数都能被1和它本身整除，所以这类自然数的特征是大于1，且只能被1和它本身整除。这类自然数叫质数（或素数）。例如，2，3，5，7，… 　　第三类：能被两个以上的自然数整除的自然数。这类自然数的特征是大于1，除了能被1和它本身整除外，还能被其它一些自然数整除。这类自然数叫合数。例如，4，6，8，9，15，… 　　上面的分类方法将自然数分为质数、合数和1，1既不是质数也不是合数。 例1 1～100这100个自然数中有哪些是质数？ 　　分析与解：先把前100个自然数写出来，得下表： 　　1既不是质数也不是合数。 　　2是质数，留下来，后面凡能被2整除的数都是合数，都划去； 　　3是质数，留下来，后面凡能被3整除的数都是合数，都划去； 　类似地，把5留下来，后面凡是5的倍数的数都划去；把7留下来，后面凡是7的倍数的数都划去。 　　到了100以内的质数表：2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，41， 　　43，47，53，59，61，67，71，73，79，83，89，97。 　　细心的同学可能会注意到，以上只划到7的倍数，为什么不继续划去11，13，…的倍数呢？事实上，这些倍数已包含在已划去的倍数中。例如，100以内11的倍数应该是 　　11×A≤100（其中A为整数）， 　　 显然，A只能取2，3，4，5，6，7，8，9。因为4=22，6=2×3，8=23，9=32，所以A必是2，3，5，7之一的倍数。由此推知，11的倍数已全部包含在2，3，5，7的倍数中，已在前面划去了。 　　 要判断一个数N是质数还是合数，根据合数的定义，只要用从小到大的自然数2，3，4，5，6，7，8，…，N-1去除N，其中只要有一个自然数能整除N，N就是合数，否则就是质数。但这样太麻烦，因为除数太多。能不能使试除的数少一点呢？由例1知，只要用从小到大的质数去除N就可以了。例2给出的判别方法，可以使试除的数进一步减少。 例2 判断269，437两个数是合数还是质数。 分析与解：对于一个不太大的数N，要判断它是质数还是合数，可以先找出一个大于N且最接近N的平方数K2，再写