五年级奥数讲义：第6讲 数的整除性（二）

第6讲 数的整除性（二） 　　 我们先看一个特殊的数——1001。因为1001=7×11×13，所以凡是1001的整数倍的数都能被7，11和13整除。 　　 能被7，11和13整除的数的特征： 　　 如果数A的末三位数字所表示的数与末三位数以前的数字所表示的数之差（大数减小数）能被7或11或13整除，那么数A能被7或11或13整除。否则，数A就不能被7或11或13整除。 例2 判断306371能否被7整除？能否被13整除？ 解：因为371-306=65，65是13的倍数，不是7的倍数，所以306371能被13整除，不能被7整除。 例3 已知10□8971能被13整除，求□中的数。 解：10□8-971=1008-971+□0=37+□0。上式的个位数是7，若是13的倍数，则必是13的9倍，由13×9-37=80，推知□中的数是8。 2位数进行改写。根据十进制数的意义，有 　　因为100010001各数位上数字之和是3，能够被3整除，所以这个12位数能被3整除。 　　根据能被7（或13）整除的数的特征，100010001与（100010-1=） 100009要么都能被7（或13）整除，要么都不能被7（或13）整除。 　　同理， 100009与（ 100-9=）91要么都能被7（或13）整除，要么都不能被7（或13）整除。 　　因为91=7×13，所以100010001能被7和13整除，推知这个12位数能被7和13整除。 　　分析与解：根据能被7整除的数的特征，555555与999999都能被7 　　因为上式中等号左边的数与等号右边第一个数都能被7整除，所以等号右边第二个数也能被7整除，推知55□99能被7整除。根据能被7整除的数的特征，□99-55=□44也应能被7整除。由□44能被7整除，易知□内应是6。 　　下面再告诉大家两个判断整除性的小窍门。 　　判断一个数能否被27或37整除的方法： 　　对于任何一个自然数，从个位开始，每三位为一节将其分成若干节，然后将每一节上的数连加，如果所得的和能被27（或37）整除，那么这个数一定能被27（或37）整除；否则，这个数就不能被27（或37）整除。 例6 判断下列各数能否被27或37整除： 　　（1）2673135；（2）8990615496。 解：（1） 2673135=2，673，135，2+673+135=8