五年级下册数学专项训练 - 奥数第十五讲 综合题选讲 - 全国版(含答案）

第十五讲 综合题选讲 　　在数学竞赛试题中渗透数学思想、方法、观念，有时还通过试题介绍或渗透某种新知识，这是数学竞赛的发展趋势.因此必须加强思维能力的训练，培养学生严谨的逻辑推理能力，灵活的技巧方法，并且通过解题培养创造性。 例1 如图，我们规定在边长为1的正方形方格纸上，从格点O到与它相邻的格点A、B、C、D、E、F、G、H的共有8种直线运动形成线段，这8种运动依次分别记为数码0、1、2、3、4、5、6、7.例如以O为始点，数码2代表形成线段OC的运动，数码7代表形成线段OH的运动等等。 　　在图（a）中画出了从P点出发，数码序列001223355的轨迹图形。请你在图（b）的边长为1的正方形方格纸上，从点M出发.依次按数码序列006756442312画出相应的轨迹图形.以这轨线图形周界和内部的格点为顶点可画出而积不小于2的正方形一共有多少？ 　　分析 此题关键是看懂题目，即线段分别记为数码0、1、2、3、4、5、6、7的意义.如右图： 　　数码0代表线段OA. 　　数码1代表线段OB。 　　数码2代表线段OC。 　　数码3代表线段OD。 　　数码4代表线段OE。 　　数码5代表线段OF。 　　数码6代表线段OG。 　　数码7代表线段OH。 　　这样，006756442312所对应的轨迹图形为封闭折线，为清楚起见标上字母，即为S=MM1M2M3M4M5M6M7M8M9M10M11M，如右图。 　　因为在S边界上有12个格点（M，M1～M11），内部有5个格点，为N1、N2、N3、N4、N5.这17个点中可形成面积大于等于2的正方形顶点的四点组共有13个。分类①面积为2的共有5个： 　　（M1M3N3M11）， 　　（M3M4M5M3）， 　　（M5M7M9N3）， 　　（M9N3M11M10）， 　　（N1N2N5N4）。 　　②面积为4的共有3个： 　　（MM2N4N2）， 　　（M3M5M9M11）， 　　（N4M6M8N2）。 　　③面积为5的共有4个： 　　（MM3N5M10）， 　　（M2M11N5M4）， 　　（N1M10M8M5）， 　　（N1M9M6M4）。 　　④面积为8的共有1个： 　　（M1M10M7M4）。 例2 一个自然数若能表示为两个自然数的平方差，则称这个自然数为“智慧数”.比如16=52-32，16就是一个“智慧数”.在自然数列中从