五年级下册数学专项训练 - 奥数第十二讲 容斥原理 - 全国版 (含答案）

第十二讲 容斥原埋 　　在很多计数问题中常用到数学上的一个包含与排除原理，也称为容斥原理.为了说明这个原理，我们先介绍一些集合的初步知识。 　　在讨论问题时，常常需要把具有某种性质的同类事物放在一起考虑.如：A=｛五（1）班全体同学｝.我们称一些事物的全体为一个集合.A＝{五（1）班全体同学}就是一个集合。 例1 B＝｛全体自然数｝=｛1，2，3，4，…｝是一个具体有无限多个元素的集合。 例2 C=｛在1，2，3，…，100中能被3整除的数｝＝（3，6，9，12，…，99｝是一个具有有限多个元素的集合。 　　集合通常用大写的英文字母A、B、C、…表示.构成这个集合的事物称为这个集合的元素.如上面例子中五（1）班的每一位同学均是集合A的一个元素.又如在例1中任何一个自然数都是集合B的元素.像集合B这种含有无限多个元素的集合称为无限集.像集合C这样含有有限多个元素的集合称为有限集.有限集合所含元素的个数常用符号|A|、|B|、|C|、…表示。 　　记号A∪B表示所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合.就是右边示意图中两个圆所覆盖的部分.集合A∪B叫做集合A与集合B的并集.“∪”读作“并”，“A∪B”读作“A并B”。 例3 设集合A=｛1，2，3，4｝，集合B=｛2，4，6，8｝，则A∪B=｛1，2，3，4，6，8｝.元素2、4在集合A、B中都有，在并集中只写一个。 　　记号A∩B表示所有既属于集合A也属于集合B中的元素的全体.就是上页图中阴影部分所表示的集合.即是由集合A、B的公共元素所组成的集合.它称为集合A、B的交集.符号“∩”读作“交”，“A∩B”读作“A交B”.如例3中的集合A、B，则A∩B=｛2，4｝。 　　下面再举例介绍补集的概念。 例4 设集合I=｛1，3，5，7，9｝，集合A=｛3，5，7｝。 补集（或余集），如图中阴影部分表示的集合（整个长方形表示集合I）. 　　 　　 　　对于两个没有公共元素的集合A和B，显然有|A∪B|=|A|+|B|。 　　例如，A=｛1，2，…，100｝，B=｛101｝，则 　　 　　所以|A∪B|＝101＝100＋1=|A|＋|B|。 　　如果集合A与B有公共元素，例如 　　A＝｛1，2，…，100｝，B＝｛90，91，…，101｝，则A∩B＝（90，91，…，100｝，A∪B={1，2，…，101}.此时，|A∪