五年级下册数学专项训练-小学奥数第七讲 不定方程的整数解-通用版(习题无答案）

第七讲 从不定方程1/n = 1/x + 1/y的整数解谈起　　 求不定方程的整数解.这里n是取定的一个自然数.对于方程 　　 　　显见x=y=12是一个整数解.还有没有别的解？如何求解？有人凭直觉能看出一些解来，但数学要求我们有一个成熟的方法去处理同一类问题。 　　 　　 式更简明，我们不妨把x-6看成一个整体，即令t=x-6，那么x=t＋6.因此 必须是整数，这样我们推知：t是62的因数（约数）。 　　 个未知数x、y的困难问题，转换成找简单的62的因子t的问题了. 　　一个完全平方数的因子必然是奇数个，如62有因子6、1和36，2和18，3和12，4和9.6称为自补的因子.后面的2和18等都称为互补因子，这样，不妨记为： 　　t0=6，t1＝1，t1′=36；t2=2，t2′=18；t3=3，t3′=12；t4=4， 　　 　　 　　这里t和t′是62=36的互补因子（当t＝t′＝6时自补因子也包括在内），所以 　　 　　 　　 　　 　　 　　 　　成一种了。 　　以上情况推广到一般情况：求不定方程 　　 　　的整数解，只要找出n2的全部成组互补因子t和t′，则 　　 　　就可得到全部解。 　　例如，求不定方程： 　　 　　（即n＝12）的整数解，首先分解122＝（22·3）2＝24·32，它的因子根据分解式的结构特点可以排成一个表。 　　按照互补或自补因子配对有：（1，144），（2，72），（3，48），（4，36），（6，24），（8，18），（16，9），（12，12）。 　　 　　 　　 　　 　　“单位分数”（分子为1分母为整数）的和，那么我们相当于求： 　　的整数解，例如求解 　　　 　　 　 　　 　　 　　在这些基本训练基础上，我们很容易把整数1分拆为若干个单位分数之和。 　 　　 （1，4），（2，2）.可有 　　 　　 　　并且可断言只有这三种形式.为证明这一论断，先介绍“推广的抽屉原理”（称之为平均值原理更确切）：一个（正）数，分放于几个抽屉中，必有一个抽屉内存放的数大于或等于平均值.（注意，这里的数不局限于整数） 　 故推断正确。 　　在某些问题研究中，并不要求马上找出全部解，只要能将一个单位分数分拆为两个单位分数之和即可，这里我们介绍另一种技巧，先看 　　 　　（我们这里是在讨论单位分数问题时用到（5）式.其实（5）式又可以