五年级下册数学专项训练 - 奥数第四讲 最大公约数和最小公倍数 - 全国版 (含答案）

第四讲 最大公约数和最小公倍数 　　本讲重点解决与最大公约数和最小公倍数有关的另一类问题——有关两个自然数.它们的最大公约数、最小公倍数之间的相互关系的问题。 　　定理1 两个自然数分别除以它们的最大公约数，所得的商互质.即如果（a，b）=d，那么（a÷d，b÷d）＝1。 　　证明：设a÷d=a1，b÷d=b1，那么a＝a1d，b=b1d。 　　假设（a1，b1）≠1，可设（a1，b1）＝m（m＞1），于是有a1=a2m，b1＝b2m.（a2，b2是整数） 　　所以a=a1d＝a2md，b＝b1d＝b2md。 　　那么md是a、b的公约数。 　　又∵m＞1，∵md＞d。 　　这就与d是a、b的最大公约数相矛盾.因此，（a1，b1）≠1的假设是不正确的.所以只能是（a1，b1）=1，也就是（a÷d，b÷d）＝1。 　　定理2 两个数的最小公倍数与最大公约数的乘积等于这两个数的乘积.（证明略） 　　定理3 两个数的公约数一定是这两个数的最大公约数的约数.（证明略） 　　下面我们就应用这些知识来解决一些具体的问题。 例1 甲数是36，甲、乙两数的最大公约数是4，最小公倍数是288，求乙数. 　　解法1：由甲数×乙数=甲、乙两数的最大公约数×两数的最小公倍数，可得 　　36×乙数=4×288， 　　乙数=4×288÷36， 　　解出 乙数=32。 　　答：乙数是32。 　　解法2：因为甲、乙两数的最大公约数为4，则甲数=4×9，设乙数=4×b1，且（b1，9）=1。 　　因为甲、乙两数的最小公倍数是288， 　　则 288＝4×9×b1， 　　 b1＝288÷36， 　　解出 b1＝8。 　　所以，乙数=4×8=32。 　　答：乙数是32。 例2 已知两数的最大公约数是21，最小公倍数是126，求这两个数的和是多少？ 　　解：要求这两个数的和，我们可先求出这两个数各是多少.设这两个数为a、b，a＜b。 　　因为这两个数的最大公约数是21，故设a=21a1，b＝21b1，且（a1，b1）＝1。 　　因为这两个数的最小公倍数是126， 　　所以 126=21×a1×b1， 　　于是 a1×b1=6， 　　 　　 　　因此，这两个数的和为21＋126=147，或42＋63=105。 　　答：这两个数的和为147或105。 例3 已知两个自然数的和是50，它们的最大公约数是5，求