【2011年三亚市中数学教学研讨会】——微型课（示范）研究课——《等比数列前n项和》（陆晓峰）

等比数列前n项和 三亚市第四中学 陆晓峰 人教A版《普通高中课程标准实验教科书数学（必修5）》 国际象棋的传说 在古印度，有个名叫西萨的人，发明了国际象棋，当时的印度国王大为赞赏，对他说：我可以满足你的任何要求．西萨说：“请给我棋盘的64个方格上，第一格放1粒小麦，第二格放2粒，第三格放4粒，往后每一格都是前一格的两倍，直至第64格．”国王觉得这个要求不高，就欣然同意了。 假设千粒麦子的质量为40g，据查，目前世界小麦年产量为6亿t。根据以上数据判断国王能不能实现他的诺言？ 思考： (1)棋盘中每格的麦粒数将构成什么样的一个数列？ (2)国王需要给发明者多少粒小麦？ 问题探究 由等比数列通项公式： 那么上式就可以转化为 ： 若 为等比数列，那么等比数列前n项和： 公式推导 注意观察等式右边每一项的特征，有何联系？ 从第二项起每一项比前一项多乘以公比q. 两边同时乘以公比q 公式推导 将以上两个式子相减 错位相减法 完善公式 观察数列2，2，2，2，2，2，2，2…… 问题1：该数列是不是等比数列？ 是 问题2：公比是多少？能不能用之前的公式求其前n项和？ q=1，不能用之前的公式求和 问题3：当公比为1时，等比数列前n项和如何求解？ Sn=n×a1 完善公式 又因： 所以： 完善公式 等比数列的前n项和 公式为： 回顾思考： (1)棋盘中每格的麦粒数将构成什么样的一个数列？ (2)国王需要给发明者多少粒小麦？ 约为7000亿吨，国王无法实现它的诺言 公式辨析 注意：1.对公比q的分类讨论； 2. 公式中的n为项数。 n × × 1．口答： 在公比为q的等比数列 中 (1)若 ，则 ________ （2）若 ，则 ________ 2．判断是非： ① （ ） ② （ ） 运用新知 例1：求下列等比数列前8项的和： 能否运用q≠1时的另一个公式进行计算？ （1） ; （2） . 运用新知 256 510 32 6 6 364 对于等比数列的五个相关量，已知其中的三个便可确定其他的量。 例2．已知 是等比数列，请完成下表： 题号 (1) 2 2 8 　　　 　　 (2) 1 3 　　 243 　　 (3) 　　 　　 -1 21 巩固提高 练习1： 练习2： 方法1： S6=189 Sn=21 方法2： 根据下列各题中的条件，求相应的等比数列 的前 项和 ： （1） （2） 求等比数列 的第5项到第10项的和． 课堂小结 1.等比数列前n项和公式是什么？ 2.我们采用何种方法推导出该公式？ 3.使用的时候对公比q有何不同要求？ 4.等比数列5个相关量是哪些？相互有何关系？ 1.必做题 课本P61页习题A组1、2、3 2.拓展题 课后作业 探索证明等比数列前n项和的其他方法。 三亚市第四中学 陆晓峰 $$等比数列的前 项和（第一课时） 三亚四中　　陆晓峰 一、教材分析 从教材的编写顺序上来看，等比数列的前n项和是第三章“数列”第五节的内容，一方面它是“等差数列的前n项和”与“等比数列”内容的延续、与前面学习的函数等知识也有着密切的联系. 就知识的应用价值上来看，它是从大量数学问题和现实问题中抽象出来的一个模型，在公式推导中所蕴涵的数学思想方法如分类讨论等在各种数列求和问题中有着广泛的应用. 等比数列的前n项和公式的探究与推导需要学生观察、分析、归纳、猜想，有助于培养学生的创新思维和探索精神,是培养学生应用意识和数学能力的良好载体． 教师教学用书安排“等比数列的前n项和”这部分内容授课时间2课时，本节课作为第一课时，重在研究等比数列的前n项和公式的推导及简单应用，教学中注重公式的形成推导过程并充分揭示公式的结构特征和内在联系. 二、教学目标 知识与技能目标：掌握等比数列的前n项和公式并能运用公式解决一些简单问题． 过程与方法目标：通过公式的推导过程，提高学生的建模意识及探究问题、分析与解决问题的能力，体会公式探求过程中从特殊到一般的思维方法，渗透方程思想、分类讨论思想及转化思想，优化思维品质． 情感态度与价值观目标：通过经历对公式的探索，激发学生的求知欲，鼓励学生大胆尝试、勇于探索、敢于创新，磨练思维品质，从中获得成功的体验，感受形式的简洁美、数学的严谨美． 三、教学重点和难点 重点：等