专项训练4 巧用位似解三角形中的内接多边形问题-2020-2021学年九年级数学全册考点专项训练及单元检测（北师大版）

专项训练4　巧用位似解三角形中的内接多边形问题 方法指导：位似图形是特殊位置的相似图形，它具有相似图形的所有性质．位似图形必须具备三个条件：(1)两个图形相似；(2)对应点的连线相交于一点；(3)对应边互相平行或在同一直线上． 训练1： 1．如图，用下面的方法可以画△AOB的内接等边三角形，阅读后证明相应问题． 画法：①在△AOB内画等边三角形CDE，使点C在OA上，点D在OB上；②连接OE并延长，交AB于点E′，过点E′作E′C′∥EC，交OA于点C′，作E′D′∥ED，交OB于点D′；③连接C′D′，则△C′D′E′是△AOB的内接等边三角形． 求证：△C′D′E′是等边三角形． (第1题) 训练2： 三角形的内接矩形问题 2．如图，求作：内接于已知△ABC的矩形DEFG，使它的边EF在BC上，顶点D，G分别在AB，AC上，并且有DE：EF＝1：2. (第2题) 训练3： 三角形的内接正方形问题(方程思想) 3．如图，△ABC是一块锐角三角形余料，边BC＝120 mm，高AD＝80 mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边QM在BC上，其余两个顶点P，N分别在AB，AC上，则这个正方形零件的边长是多少？ (第3题) 4．(1)如图①，在△ABC中，点D，E，Q分别在AB，AC，BC上，且DE∥BC，AQ交DE于点P.求证：. ＝ (2)在△ABC中，∠BAC＝90°，正方形DEFG的四个顶点在△ABC的边上，连接AG，AF，分别交DE于M，N两点． ①如图②，若AB＝AC＝1，直接写出MN的长； ②如图③，求证：MN2＝DM·EN. (第4题) 参考答案 1．证明：∵E′C′∥EC，∴∠C′E′O＝∠CEO. 又∵∠COE＝∠C′OE′， ∴△OCE∽△OC′E′. ∴. ＝ 又∵E′D′∥ED， ∴∠D′E′O＝∠DEO. 又∵∠DOE＝∠D′OE′， ∴△DOE∽△D′OE′， ∴. ＝ ∴∠CED＝∠C′E′D′，. ＝ ∴△CED∽△C′E′D′. 又∵△CDE是等边三角形， ∴△C′D′E′是等边三角形． (第2题) 2．解：如图，在AB边上任取一点D′，过点D′作D′E′⊥BC于点E′，在BC上截取E′F′，使E′F′＝2D′E′，过点F′作F′G′⊥BC，过点D′作D′G′∥BC交F′G′于点G′，作射线BG′交AC于点G，过点G作GF