2-1-2 一元二次方程的解集及其根与系数的关系-2020-2021学年新教材高中数学必修第一册【赢在微点】轻松课堂（人教B版）word版

2．1.2　一元二次方程的解集及其根与系数的关系 课程 标准 1.使学生掌握配方法的推导过程，熟练地用配方法解一元二次方程；2.会熟练应用公式法解一元二次方程；3.探索一元二次方程根与系数的关系，并且能用关系熟练解题。 知识点一、一元二次方程的解法 常用解法 适用范围 直接开平方法 形如a(mx＋n)2＝b的方程(a≠0) 配方法 一元二次方程的一般形式 公式法 一元二次方程的一般形式 因式分解法 一般形式左侧易于因式分解 知识点二、一元二次方程根的判别式和根与系数的关系 1．根的判别式 一元二次方程根的判别式 根的判别式的定义 关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的判别式为b2－4ac 判别式与根的关系 (1)b2－4ac>0⇔方程有两个不相等的实数根； (2)b2－4ac＝0⇔方程有两个相等的实数根； (3)b2－4ac<0⇔方程没有实数根 在使用根的判别式解决问题时，如果二次项系数中含有字母，要加上二次项系数不为零这个限制条件。 2．设一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根为x1，x2，则方程的两个根x1，x2和方程系数a，b，c之间有如下关系：x1＋x2＝－，x1x2＝。 一、判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若x2＝a，则方程的根是x＝±。(×) (2)ax2＋bx＋c＝0的根是x＝。(×) (3)设方程x2＋4x－5＝0的根为x1，x2，则x1＋x2＝－4，x1x2＝－5。(√) 二、做一做 1．用配方法解方程x2＋4x＋1＝0，配方后的方程是(　　) A．(x＋2)2＝3 B．(x－2)2＝3 C．(x－2)2＝5 D．(x＋2)2＝5 答案　A 2．若关于x的方程x2＋2x＋a＝0不存在实数根，则a的取值范围是(　　) A．a<1 B．a>1 C．a≤1 D．a≥1 答案　B 3．已知关于x的一元二次方程x2－x－3＝0的两个实数根分别是α，β，则(α＋1)(β＋1)＝________。 解析　因为方程x2－x－3＝0的两个实数根分别是α，β，所以α＋β＝1，αβ＝－3，所以(α＋1)(β＋1)＝αβ＋(α＋β)＋1＝－3＋1＋1＝－1。 答案　－1 类型一 配方法解一元二次方程 【例1】　(1)一元二次方程x2－8x－1＝0配方后可变形为(　　) A．(x＋4)2＝17 B．(x＋4)2＝15 C．(x－4)2＝17 D．(x－4)2＝15 解析　移项，得x2－8x＝1。配方，得x2－8x＋42＝1＋42，即(x－4)2＝17。 答案　C (2)用配方法求方程2x2＋1＝3x的解集。 解　移项，得2x2－3x＝－1。 二次项系数化为1，得x2－x＝－。 配方，得x2－x＋2＝－＋2即2＝。 由此可得x－＝±，x＝1或x＝， 所以原方程的解集为。 用配方法解一元二次方程的一般步骤 (1)将一元二次方程化为一般形式。 (2)将常数项移到方程的右边。 (3)在方程两边同除以二次项系数，将二次项系数化为1。 (4)在方程两边都加上一次项系数一半的平方，然后将方程左边化为一个完全平方式，右边为一个常数。 (5)当方程右边是一个非负数时，用直接开平方法解这个一元二次方程；当方程右边是一个负数时，原方程无实数解。 【变式训练】　已知实数x满足x2＋＋2－6＝0，求x＋的值。 解　将原方程两边同时加上2， 得x2＋＋2＋2－6＝2， 即2＋2＝8。 设x＋＝y，则方程2＋2＝8可化为y2＋2y＝8。 配方，得y2＋2y＋1＝8＋1， 所以(y＋1)2＝9。 直接开平方，得y＋1＝±3。 解得y1＝2，y2＝－4。 即x＋＝2或x＋＝－4。 类型二 公式法解一元二次方程 【例2】　求下列方程的解集： (1)x2－5x＋2＝0；(2)x2－2x＋3＝0。 解　(1)Δ＝(－5)2－4×1×2＝25－8＝17>0， 方程有两个不等的实数根， x＝＝＝， 即x1＝，x2＝。 所以方程的解集为。 (2)Δ＝(－2)2－4×1×3＝12－12＝0， 方程有两个相等的实数根， x1＝x2＝＝＝。 所以方程的解集为{}。 用公式法解一元二次方程时，要注意两点[来源:学|科|网] (1)一定要把方程化为一般形式。 (2)一定要计算b2－4ac的值，且b2－4ac的值大于或等于0时，才能代入求根公式。 【变式训练】　求下列一元二次方程的解集。 (1)x2－3x＝1；(2)4x2＝2x－1。[来源:学科网ZXXK] 解　(1)由题可得x2－3x－1＝0， 因为a＝1，b＝－3，c＝－1， 所以x＝， 所以x1＝，x2＝。 所以原方程的解集为。 (2)由题可得4x2－2x＋1＝0， 所以a＝4，b＝－2，c＝1，Δ＝(－2)2－4×4