2-2-3 一元二次不等式的解法-2020-2021学年新教材高中数学必修第一册【赢在微点】轻松课堂（人教B版）word版

2．2.3　一元二次不等式的解法 课程 标准 1.会用因式分解法和配方法解一元二次不等式；2.能够解决简单的含参数的一元二次不等式的解法问题；3.能够运用一元二次不等式的解法解决一些实际问题。 知识点一、一元二次不等式的概念 一般地，形如ax2＋bx＋c>0的不等式称为一元二次不等式，其中a，b，c是常数，而且a≠0。不等式中的不等号也可以是“<”“≥”“≤”等。[来源:学科网] ax2＋bx＋c>0中a≠0，若a＝0，则ax2＋bx＋c>0不是一元二次不等式。 知识点二、一元二次不等式的解法 1．用因式分解法解一元二次不等式 一般地，如果x1<x2，则不等式(x－x1)(x－x2)<0的解集是(x1，x2)，不等式(x－x1)(x－x2)>0的解集是(－∞，x1)∪(x2，＋∞)。 (1)这种方法只有在一元二次不等式左边能够因式分解(一般用十字相乘法)时才能使用，简记为“小于零取中间，大于零取两边”。 (2)因式分解法就是将一元二次不等式转化为两个一元一次不等式组来求解。 依据是：ab>0当且仅当或ab<0当且仅当或 2．用配方法解一元二次不等式 一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)通过配方总是可以变为(x－h)2>k或(x－h)2<k的形式，然后根据k的正负等知识，就可以得到不等式的解集。 (1)因式分解法只适用于特殊类型的一元二次不等式，一般的一元二次不等式可以通过配方法求得解集。 (2)用配方法解一元二次不等式的关键是熟练掌握二次三项式的配方技巧。 一、判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)kx2－x＋1≥0是关于x的一元二次不等式。(×) (2)不等式m2x＋2x－3<0是关于x的一元二次不等式。(×) (3)若a>0，则一元二次不等式ax2＋1>0无解。(×) (4)不等式x2－2x＋1≤0的解集是{1}。(√) 二、做一做 1．已知集合A＝{x|x2－2x<0}，B＝{x|1<x<3}，那么A∩B＝(　　) A．{x|0<x<2} B．{x|1<x<2} C．{x|0<x<3} D．{x|1<x<3} 解析　由x2－2x<0得0<x<2，所以A＝{x|0<x<2}，所以A∩B＝{x|1<x<2}。故选B。 答案　B 2．不等式9x2＋6x＋1≤0的解集是(　　) A． B． C．∅ D． 解析　原不等式变形为(3x＋1)2≤0，所以x＝－。故选D。 答案　D 3．不等式>2的解集是________。 解析　不等式>2同解于：－2>0，即<0，即(x－2)(x－1)<0，解得1<x<2，所以不等式>2的解集是(1,2)。 答案　(1,2) 类型一 因式分解法解一元二次不等式 【例1】　解下列不等式： (1)2x2＋5x－3<0； (2)4x2－12x＋5>0； (3)－2x2＋3x－1>0。 解　(1)因为2x2＋5x－3＝(2x－1)·(x＋3)<0，所以不等式的解集为。 (2)因为4x2－12x＋5＝(2x－1)(2x－5)>0，所以不等式的解集为∪。 (3)将不等式－2x2＋3x－1>0化为2x2－3x＋1＝(2x－1)(x－1)<0，所以不等式的解集为。 因式分解法首先把二次项系数化为正数，再因式分解求解不等式。 【变式训练】　解下列不等式： (1)(x－3)(x－7)<0； (2)x(1－x)≥x(2x－3)＋1。 解　(1)(x－3)(x－7)<0的解集为(3,7)。 (2)不等式可化为3x2－4x＋1≤0，即(3x－1)(x－1)≤0，所以不等式的解集为。 类型二 配方法解一元二次不等式 【例2】　解下列不等式： (1)－3x2＋6x－2>0； (2)4x2－4x＋1≤0； (3)x2－2x＋2>0。 解　(1)不等式可化为3x2－6x＋2<0，配方得3(x－1)2<1，－<x－1<，所以不等式的解集为。 (2)4x2－4x＋1＝(2x－1)2≤0，不等式的解集为。 (3)因为x2－2x＋2＝(x－1)2＋1>0恒成立，所以不等式的解集为R。 配方法解不含参数的一元二次不等式的一般步骤 (1)化标准。通过对不等式的变形，使不等式的右侧为0，二次项系数为正。 (2)配方。不等式的左侧进行配方，常数移到不等式的右侧。 (3)写解集。根据右侧常数的正负，写出不等式的解集。 【变式训练】　解下列不等式： (1)2x2－4x－1≤0； (2)4x2－20x<－25； (3)－3x2＋5x－4<0。 解　(1)原不等式化为2(x－1)2≤3，－≤x－1≤，1－≤x≤1＋，所以不等式的解集为。 (2)原不等式化为42<0，所以不等式的解集为∅。 (3)原不等式化为3x2－5x＋4>0，＋>0，所以不等式的解集为R。 类型三 分式不等式的解法 【例3】　(1)