2-2-4 均值不等式及其应用-2020-2021学年新教材高中数学必修第一册【赢在微点】轻松课堂（人教B版）word版

2．2.4　均值不等式及其应用 课程 标准 掌握均值不等式≥(a，b>0)。结合具体实例，能用均值不等式解决简单的最大值或最小值问题。 知识点一、均值不等式 1．有关概念：给定两个正数a，b，数称为a，b的算术平均值；数称为a，b的几何平均值。 2．均值不等式：如果a，b都是正数，那么≥，当且仅当a＝b时，等号成立。 均值不等式中a，b可以是任意正实数，当a≠b时，只有>，均值不等式也称基本不等式。 3．均值不等式的几何意义：将均值不等式两边平方可得：2≥ab，如果矩形的长和宽分别为a，b，那么矩形的面积为ab，2可以看成与矩形周长相等的正方形的面积，因此均值不等式的一个几何意义为：所有周长一定的矩形中，正方形的面积最大。 知识点二、均值不等式求最值 1．理论依据 (1)设x，y为正实数，若x＋y＝S(和S为定值)，则当x＝y时，积xy有最大值，且这个值为S2。 (2)设x，y为正实数，若xy＝P(积P为定值)，则当x＝y时，和x＋y有最小值，且这个值为2。 2．均值不等式求最值的条件[来源:学科网ZXXK] (1)x，y必须是正数； (2)求积xy的最大值时，应看和x＋y是否为定值；求和x＋y的最小值时，应看积xy是否为定值。 (3)等号成立的条件是否满足。 利用均值不等式求最值需注意的问题 (1)各数(或式)均为正。 (2)和或积为定值。 (3)判断等号能否成立，“一正、二定、三相等”这三个条件缺一不可。 一、判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)≥对任意实数a，b都成立。(×) 解析　只有当a≥0且b≥0时，≥才能成立。[来源:Z§xx§k.Com] (2)若a>0，b>0且a≠b，则a＋b>2。(√) (3)若a>0，b>0，则ab≤2。(√) 二、做一做 1．不等式a2＋4≥4a中等号成立的条件是________。 解析　当a2＋4＝4a，即(a－2)2＝0，即a＝2时，等号成立。 答案　a＝2 2．x2＋y2＝4，则xy的最大值为________。 解析　xy≤＝＝2。 答案　2 类型一 对均值不等式的理解 【例1】　(1)若a，b∈R，且ab>0，则下列不等式中，恒成立的是(　　) A．a2＋b2>2ab B．a＋b≥2 C.＋> D.＋≥2 解析　对于A项，当a＝b时，应有a2＋b2＝2ab，所以A项错；对于B，C，条件ab>0，只能说明a，b同号，当a，b都小于0时，B，C错误；对于D项，因为ab>0，所以，>0，所以＋≥2＝2。 答案　D (2)不等式a＋1≥2(a>0)中等号成立的条件是(　　) A．a＝0 B．a＝ C．a＝1 D．a＝2 解析　因为a>0，根据均值不等式≤，当且仅当a＝b时等号成立，故a＋1≥2中等号成立当且仅当a＝1。 答案　C 要熟记重要不等式和均值不等式的形式及其成立的条件，尽管在这两个不等式中，a，b可以换成不同的数、式，但换后的数、式必须满足相应的条件，否则就会得出错误的结论。 【变式训练】　下列不等式一定成立的是(　　) A.≥ B．≤－ C．x＋≥2 D．x2＋≥2 解析　当a，b，x都为负数时，A，C不正确；当a，b为正数时，B不正确。根据均值不等式，有x2＋≥＝2。故选D。 答案　D 类型二 利用均值不等式求最值 【例2】　(1)求函数y＝＋x(x>3)的最小值； (2)已知0<x<，求y＝x(1－3x)的最大值。 解　(1)y＝＋x＝＋(x－3)＋3， 因为x>3，所以x－3>0，>0， 所以y≥2 ＋3＝5。 当且仅当＝x－3，即x＝4时，y取得最小值5。 (2)因为0<x<，所以1－3x>0， y＝x(1－3x)＝×3x·(1－3x)≤＝，当且仅当3x＝1－3x，即x＝时，取等号， 所以当x＝时，函数取得最大值。 利用均值不等式求函数的最值 (1)利用均值不等式求函数最值的关键是获得定值条件，解题时应对照已知和欲求的式子运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创设应用均值不等式的条件。 (2)等号取不到时，注意利用求函数最值的其他方法。 【变式训练】　(1)已知x<，则函数y＝4x－2＋的最大值为________。 解析　因为x<，所以5－4x>0。所以y＝4x－2＋＝＋3≤＋3＝－2＋3＝1，当且仅当5－4x＝，即x＝1时，上式等号成立。故当x＝1时，ymax＝1。 答案　1 (2)若x>1，则函数y＝的最小值为________。 解析　因为x>1，所以y＝＝＝x＋1＋＝x－1＋＋2≥2＋2＝4，当且仅当＝x－1，即(x－1)2＝1时，等号成立，所以当x＝2时，ymin＝4。 答案　4 类型三 利用均值不等式证明不等式 【例3】　(1)已知a，b，c为不全相等的正实数，求证：a＋b＋c>＋＋。[来源:Zxxk.Com]