第一章 集合与常用逻辑用语 总结-2020-2021学年新教材高中数学必修第一册【赢在微点】轻松课堂（人教B版）word版

本 章 总 结 知|识|结|构 核|心|回|归 1．集合的“三性” 正确理解集合元素的三性，即确定性、互异性和无序性。在集合运算中，常利用元素的互异性检验所得的结论是否正确，因互异性易被忽略，在解决含参集合问题时应格外注意。 2．集合与集合之间的关系 集合与集合之间的关系有包含、真包含和相等。判断集合与集合之间的关系的本质是判断元素与集合的关系，包含关系的传递性是推理的重要依据。空集比较特殊，它不含有任何元素，是任意集合的子集，是任意非空集合的真子集。解题时，已知条件中出现A⊆B时，不要遗漏A＝∅。 3．集合与集合之间的运算 交、并、补是集合间的基本运算，维恩图与数轴是集合运算的重要工具。注意集合之间的运算与集合间的关系之间的转化，如A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B。 4．全称量词与存在量词 (1)要注意全称量词命题、存在量词命题的自然语言之间的转换。 (2)常用“都是”表示全称肯定，它的否定为“不都是”，两者互为否定；用“都不是”表示全称否定，它的肯定可用“至少有一个是”来表示。 5．充分条件与必要条件的判定 在判定充分条件、必要条件时，要注意既要看由p能否推出q，又要看由q能否推出p，不能顾此失彼。证明题一般是要求就充要条件进行论证，证明时要分两个方面，防止将充分条件和必要条件的证明弄混。 要|点|突|破 要点一 集合的运算 集合基本运算的方法及注意点 1．一般来讲，集合中的元素若是离散的实数，则用维恩图表示；集合中的元素若是连续的实数，则用数轴表示，此时要注意端点的情况。 2．进行集合的运算时要看集合的组成，并且要对有的集合进行化简。 3．涉及含字母的集合时，要注意该集合是否可能为空集。 【例1】　已知集合A＝{x|0≤x≤2}，B＝{x|a≤x≤a＋3}。 (1)若()∪B＝R，求实数a的取值范围；[来源:学.科.网] (2)是否存在实数a使()∪B＝R且A∩B＝∅？ 【解】　(1)因为A＝{x|0≤x≤2}， 所以＝{x|x<0或x>2}。 因为()∪B＝R。(如图) 所以所以－1≤a≤0。 即实数a的取值范围是{a|－1≤a≤0}。 (2)由(1)知当()∪B＝R时， －1≤a≤0，而a＋3∈{a|2≤a≤3}， 所以A⊆B，这与A∩B＝∅矛盾。 即这样的a不存在。 借助数轴表达集合间的关系更直观，但操作时要规范，如区间端点的顺序、虚实不能标反。 【变式训练1】　已知全集U＝{x||x|≤5}，集合A＝{x|－2<x<1}，集合B＝{x|－3<x≤3}，求，A∩B，，()∩B。 解　由题意知U＝{x|－5≤x≤5}， 把集合U及集合A，B分别在数轴上表示出来。如图， 所以＝{x|－5≤x≤或1≤x≤5}， A∩B＝{x|－2<x<1}， ＝{x|－5≤x≤－2或1≤x≤5}， ()∩B＝{x|－3<x≤－2或1≤x≤3}。 要点二 全称量词与存在量词 1.对含有量词的命题的否定要注意以下问题 (1)确定命题类型，是全称量词命题还是存在量词命题。 (2)改变量词：把全称量词改为恰当的存在量词，把存在量词改为恰当的全称量词。 (3)否定结论：原命题中的“是”“有”“存在”“成立”等分别改为“不是”“没有”“不存在”“不成立”等。 (4)无量词的命题要先补回量词再否定。 2．通常对于“至多”“至少”的命题，应采用逆向思维的方法处理，先考虑命题的否定，求出相应的集合，再求集合的补集，可避免繁杂的运算。 【例2】　写出下列命题的否定，并判断其真假。 (1)p：每一个素数都是奇数； (2)p：不论m取何实数，方程x2＋2x－m＝0都有实数根； (3)p：有些实数的绝对值是正数； (4)p：某些平行四边形是菱形。 【解】　(1)由于全称量词“每一个”的否定为“存在一个”，因此，綈p：存在一个素数不是奇数，是真命题。 (2)是全称量词命题，其否定为“存在实数m，使得方程x2＋2x－m＝0没有实数根”，是真命题。 (3)由于存在量词“有些”的否定为“所有”，因此，綈p：所有实数的绝对值都不是正数，是假命题。[来源:学科网ZXXK] (4)由于存在量词“某些”的否定为“每一个”，因此，綈p：每一个平行四边形都不是菱形，是假命题。 全称量词命题与存在量词命题之所以有区别，是因为构成这两种命题的量词不同，可以发现，全称量词与存在量词正好构成了意义相反的表述，如“对所有…都成立”与“至少有一个…不成立”，“都有”与“不都有”等。 【变式训练2】　写出下列命题的否定： (1)∀x∈R，x2－x＋3≤0； (2)∃x∈R，x2＋1<0。 解　(1)命题的否定：∃x∈R，x2－x＋3>0。 (2)命题的否定：∀x∈R，x2＋1≥0。 要点三 充分条件和必要条件的理解与判断 1.充分条件和必要条件的理解 (1)“p是q的充分条件”，可理