专题05 手拉手模型构造全等三角形-2021年中考数学重难点专项突破（全国通用）

专题05 手拉手模型构造全等三角形 【专题说明】 两个具有公共顶点的相似多边形，在绕着公共顶点旋转的过程中，产生伴随的全等或相似三角形，这样的图形称作共点旋转模型；为了更加直观，我们形象的称其为“手拉手”模型。 【知识总结】 【基本模型】 一、等边三角形手拉手-出全等 图1 图2 [来源:学科网] 图3 图4 二、等腰直角三角形手拉手-出全等 两个共直角顶点的等腰直角三角形，绕点C旋转过程中（B、C、D不共线）始终有：[来源:Z#xx#k.Com] ①△BCD≌△ACE；②BD⊥AE（位置关系）且BD=AE（数量关系）；③FC平分∠BFE； 图1 图2 图3 图4 1、如图，点C在线段AB上，△DAC和△DBE都是等边三角形，求证：△DAB≌△DCE;DA∥EC. 解析： （1）△DAC和△DBE都是等边三角形. ∴DA=DC,DB=DE,∠ADC=∠BDE=60°. ∴DA=DC,DB=DE,∠ADC=∠BDE=60° ∴∠ADC+∠CDB=∠BDE+∠CDB,（重点） 即∠ADB=∠CDE 在△DAB和△DCE中， DA=DC ∠ADB=∠CDE DB=DE ∴△DAB≌△DCE. （2）∵△DAB≌△DCE ∴∠A=∠DCE=60° ∵∠ADC=60° ∴∠DCE=∠ADC ∴DA∥EC. 2、已知：△ACB和△DCE都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，连结AE,BD交于点O,AE与DC交于点0，AE与DC交于点M,BD与AC交于点N. 解析: ∵△ACB和△DCE都是等腰三角形 ∠ACB=∠DCE=90° ∴AC=BC,DC=EC ∴∠ACB+∠ACD=∠DCE+∠ACD ∴∠BCD=∠ACE 在△ACE和△BCD中 AC=BC ∠ACE=∠BCD CE=CD ∴△ACE≌△BCD(SAS) ∴AE=BD 3、已知，在△ABC中，AB＝AC，点P平面内一点，将AP绕A顺时针旋转至AQ，使∠QAP＝∠BAC，连接BQ、CP， ⑴若点P在△ABC内部，求证BQ＝CP； ⑵若点P在△ABC外部，以上结论还成立吗？ 解析：（1）∵∠QAP＝∠BAC ∴∠QAP－∠BAP ＝∠BAC－∠BAP[来源:Z#xx#k.Com] 即∠QAB＝∠PAC 另由旋转得AQ＝AP 在△AQB和△APC中 AQ＝AP ∠QAB＝∠PAC AB＝AC ∴△AQB≌△APC ∴BQ＝CP （2）∵∠QAP＝∠BAC ∴∠QAP＋∠BAP ＝∠BAC＋∠BAP[来源:学科网] 即∠QAB＝∠PAC 另由旋转得AQ＝AP 在△AQB和△APC中 AQ＝AP ∠QAB＝∠PAC AB＝AC ∴△AQB≌△APC ∴BQ＝CP 4、如图，点G是正方形ABCD对角线CA的延长线上任意一点，以线段AG为边作一个正方形AEFG，线段EB和GD相交于点H.若AB=，AG=1，则EB=________________. 解析：连接BD交于AC于点O, ∵四边形ABCD、AGFE是正方形 ∴AB=AD,AE=AG,∠DAB=∠EAG ∴∠EAB=∠GAD 在△AEB和△AGD中 AE=AG ∠EAB=∠GAD AB=AD ∴△EAB≌△GAD（SAS） ∴EB=GD ∵四边形ABCD是正方形，AB= ∴BD⊥AC,AC=BD==2 ∴∠DOG=90°，OA=OD=BD=1 ∵AG=1 ∴OG=OA+AG=2 ∴GD=，EB= 5、已知正方形ABCD和正方形AEFG有一个公共点，点G、E分别在线段AD、AB上，若将正方形AEFG绕点A按顺时针方向旋转，连接DG,在旋转的过程中，你能否找到一条线段的长与线段DG的长度始终相等？并说明理由。 解析：连接BE ∵四边形ABCD和四边形AEFG都是正方形 ∴AB=AD,AE=AG,∠BAD=∠EAG=90° ∴∠BAD-∠BAG=∠EAG-∠BAG,即∠DAG=∠BAE AB=AD ∠DAG=∠BAE AE=AG ∴△BAE≌△DAG(SAS) ∴BE=DG 6、已知：如图在△ABC，△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC,AD=AE,点C、D、E三点在同一直线上，连接BD,BE.以下四个结论:①BD=CE;②BD⊥CE;③∠ACE+∠BDC=45°；④其中结论正确的个数是_______ 解