专题06 对角互补模型在三角形中应用-2021年中考数学重难点专项突破（全国通用）

专题06 对角互补模型在三角形中应用 【专题说明】 对角互补模型证明全等三角形，其辅助线的添加非常灵活，尤其是很多全等证明的题目经常和旋转综合考察，作为初二数学中的压轴题型。我们集中讲解旋转综合中常见的模型、题型，希望各位同学能从中收益。 【知识总结】 一、双等边类型 [来源:Z.xx.k.Com] △BCD≌△ACE △ABD≌△ACE △BOE∽△COF 二、双等腰直角类型 △BCD≌△ACE △BCE≌△DCF △ABD∽△ACE 【类型】一、全等型—60º和120º 如图，已知∠AOB＝2∠DCE＝120º，OC平分∠AOB. 则可得到如下几个结论：①CD＝CE，②OD＋OE＝OC，③. 证明：如图，过点C作CF⊥OA，CG⊥OB，垂足分别为F、G. 由角平分线性质可得CF＝CG，在四边形OFCG中，∠FCG＝60º， ∵∠FCD＋∠DCG＝∠GCE＋∠DCG＝60º，∴∠FCD＝∠GCE，∴△CDF≌△CEG（ASA）， ∴CD＝CE，结论①成立； 在Rt△COF和Rt△COG中，∠COF＝∠COG＝60º，∴OF＝OG＝OC， 又∵OD＋OE＝OD＋OG＋EG＝OD＋OG＋DF＝OF＋OG，∴OD＋OE＝OC＝OC，结论②成立； ，结论③成立. 【类型】二、全等型—90º 如图，已知∠AOB＝∠DCE＝90º，OC平分∠AOB. 则可以得到如下几个结论：①CD＝CE，②OD＋OE＝OC，③. 证明：如图，过点C作CM⊥OA于点M，CN⊥OB于点N. ∵OC平分∠AOB，∴CM＝CN（角平分线上的点到角两边的距离相等），[来源:学科网] 在正方形MONC中，由题意可得∠MCN＝360º－∠CMO－∠AOB－∠CNO＝90º，∴∠MCD＋∠DCN＝90º， 又∵∠DCE＝90º，∴∠ECN＋∠MCD＝90º，∴∠MCD＝∠ECN，[来源:Zxxk.Com] ∴△CDM≌△CEN，∴CD＝CE，∴结论①成立； ∵四边形MONC为正方形，∴OM＝ON＝OC， 又∵OD＋OE＝OD＋ON＋NE＝OD＋ON＋DM＝OM＋ON，∴OD＋OE＝OC，∴结论②成立； ∴，∴结论③成立. 2. 如图，已知∠DCE的一边与AO的延长线交于点D，∠AOB＝∠DCE＝90º，OC平分∠AOB.[来源:学科网ZXXK] 则可得到如下几个结论：①CD＝CE，②OE－OD＝OC，③. 证明：如图，过点C作CF⊥OA，CG⊥OB，垂足分别为F、G. 由角平分线性质可得CF＝CG，∴四边形CFOG为正方形， ∵∠1＋∠2＝90º，∠3＋∠2＝90º，∴∠1＝∠3，∴△CDF≌△CEG， ∴CD＝CE，结论①成立； 在正方形CFOG中，OF＝OG＝OC， ∵OE－OD＝OG＋GE－OD＝OG＋FD－OD＝OG＋OF，∴OE－OD＝OC＝OC，结论②成立； 【类型】三、全等型—和 如图，已知∠AOB＝，∠DCE＝，OC平分∠AOB. 则可以得到以下结论：①CD＝CE，②OD＋OE＝2OC·cos，③. 证明：如图，过点C作CF⊥OA，CG⊥OB，垂足分别为F、G. [来源:学|科|网Z|X|X|K] 证△CDF≌△CEG可得CD＝CE，结论①成立， 在Rt△COF和Rt△COG中，∠COF＝∠COG＝，∴OF＝OG＝OC·， 又∵OD＋OE＝OD＋OG＋EG＝OD＋OG＋DF＝OF＋OG，∴OD＋OE＝2OC·cos，结论②成立， ，结论③成立. 【类型】四、相似型—90º 如图，已知∠AOB＝∠DCE＝90º，∠BOC＝. 结论：CE＝CD·. 证明【方法一】：如图1，过点C作CF⊥OA，CG⊥OB，垂足分别为F、G. 先证△CEG∽△CDF，即，又∵四边形CFOG是矩形，∴CF＝DG， 在Rt△COG中，，∴CE＝CD·； 证明【方法二】：如图2，过点C作CF⊥OC交OB于点F. 通过证明△CFE∽△COD可得. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 $$