专题06 对角互补模型在三角形中应用(基础训练)-2021年中考数学重难点专项突破（全国通用）

专题06 对角互补模型在三角形中应用 【类型】一、一般情况 基本条件:△ABC∽△EDC，连接AE、BD后,有△AEC∽△BDC，相似比为AC边与BC边之比。 可见,上面几种有图形中有全等情况出现，只因图形中有边长相等。 [来源:学#科#网] 1、(直接用双子)如图，直角坐标系中，点A的坐标为(1,0),以线段OA为边在第四象限内作等边△AOB,点C为x正半轴上一动点(OC＞1),连接BC，以线段BC为边在第四象限内作等边△CBD,直线DA交y轴于点E． (1)△OBC与△ABD全等吗？判断并证明你的结论；[来源:学科网ZXXK] (2)着点C位置的变化，点E的位置是否会发生变化？若没有变化，求出点E的坐标；若有变化，请说明理由． 2、如图,△ABC和△ADE都是等腰直角三角形,∠BAC＝∠DAE＝90°,AB＝AC＝2，O为AC中点，若点D在直线BC上运动，连接OE，则在点D运动过程中，线段OE的最小值是为（　　） A． B． C．1 D． 3、如图1，在Rt△ABC中，∠B＝90°,cosC＝,点D、E分别是边BC、AC的中点，连接DE，将△EDC绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为θ．当0°≤θ＜360°时的大小有无变化？请仅就图2的情况给出证明． （图1） （图2） 【类型】二、旋转构造双子型[来源:学*科*网Z*X*X*K] 此类图的特点在于图形的不完整。一且补全图形,答案即可解出,而方法不仅仅是构造,亦可用旋转,构造与旋转本就可互相代替,但我们常常选用旋转来解决!不过本专题打算用构造的思路去解决!面转的方法读者可自行尝试,图是一样的！ 1．如图所示，在四边形ABCD中，AD＝3,CD＝2,∠ABC＝∠ACB＝∠ADC＝45°,则BD的长为_________． [来源:学*科*网] 2、如图，在△ABC中,∠ABC＝60°,AB＝＝8，以AC为腰，点A为顶点作等腰△ACD,且∠DAC＝120°,则BD的长为________.[来源:学科网ZXXK] 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 $$ 专题06 对角互补模型在三角形中应用 【类型】一、一般情况 基本条件:△ABC∽△EDC，连接AE、BD后,有△AEC∽△BDC，相似比为AC边与BC边之比。 可见,上面几种有图形中有全等情况出现，只因图形中有边长相等。 1、(直接用双子)如图，直角坐标系中，点A的坐标为(1,0),以线段OA为边在第四象限内作等边△AOB,点C为x正半轴上一动点(OC＞1),连接BC，以线段BC为边在第四象限内作等边△CBD,直线DA交y轴于点E． (1)△OBC与△ABD全等吗？判断并证明你的结论； (2)着点C位置的变化，点E的位置是否会发生变化？若没有变化，求出点E的坐标；若有变化，请说明理由． [来源:学。科。网] 解：①全等． 理由：∵△AOB和△CBD是等边三角形， ∴OB＝AB，∠OBA＝∠OAB＝60°，BC＝BD，∠CBD＝60°， ∴∠OBA＋∠ABC＝∠CBD＋∠ABC，即∠OBC＝∠ABD， 在△OBC和△ABD中， ∵， ∴△OBC≌△ABD（SAS）． ②不变． 理由：∵△OBC≌△ABD， ∴∠BAD＝∠BOC＝60°， 又∵∠OAB＝60°， ∴∠OAE＝180°﹣∠OAB﹣∠BAD＝60°， ∴Rt△OEA中，AE＝2OA＝2， ∴OE＝， ∴点E的位置不会发生变化，E的坐标为E（0，）． 2、如图,△ABC和△ADE都是等腰直角三角形,∠BAC＝∠DAE＝90°,AB＝AC＝2，O为AC中点，若点D在直线BC上运动，连接OE，则在点D运动过程中，线段OE的最小值是为（　　） A． B． C．1 D． [来源:学科网] 解：设Q是AB的中点，连接DQ， ∵∠BAC＝∠DAE＝90°， ∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC， 即∠BAD＝∠CAE， ∵AB＝AC＝2，O为AC中点， ∴AQ＝AO， 在△AQD和△AOE中， ， ∴△AQD≌△AOE（SAS）， ∴QD＝OE， ∵点D在直线BC上运动， ∴当QD⊥BC时，QD最小， ∵△ABC是等腰直角三角形， ∴∠B＝45°，[来源:学科网ZXXK] ∵QD⊥BC， ∴△QBD是等腰直角三角形，[来源:Z_xx_k.Com] ∴QD＝QB， ∵QB＝AB＝1， ∴QD＝， ∴线段OE的最小值是为． 故选：B． 3、如图1，在Rt△ABC中，∠B＝90°,cosC＝,点D、E分别是边BC、AC的中点，连接DE，将△EDC绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为θ．当0°≤θ＜360°时的大小有无变化？请仅就图2的情况给出证明． （图1） （图2） 当0