学会解题03 利用导数证明不等式的规律-学会解题之高三数学解题方法的归纳与选择【2021版】

· 方法规律技巧03 利用导数证明不等式的规律 基本原理 方 法 方法解读 配套例题 作差构造函数 证明不等式 证明:f(x)>g(x)(x∈D),令F(x)=f(x)-g(x)(x∈D),只须证明F(x)min>0(x∈D)即可,从而把证明不等式问题转化求F(x)min问题 典型例题(1) 变形构造函数证明不等式 常采用两边取对数(指数),移项通分，换元法等途径，将所证不等式进行等价变形，然后构造函数. 利用导数研究函数性质，转化为求函数的最值、极值问题. 典型例题(2) 温馨提醒 构造函数过程中务必要保证不等式的等价变形,要充分借助参数的范围进行化简 典型例题精选与变式 典型例题 自主解析 体会方法 (1)已知函数f(x)=ex-3x+3a(e为自然对数的底数,a∈R). ①求f(x)的单调区间与极值; ②求证:当a>ln,且x>0时,x+-3a. (2)已知函数f(x)=x(1+ln x).若斜率为k的直线与曲线y=f'(x)交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,其中x1<x2,求证:x1<<x2. 　　　　　　　　　　新题好题训练与提高 1.【2020年高考浙江卷22】已知，函数，其中e=2．71828…为自然对数的底数． （Ⅰ）证明：函数在上有唯一零点； （Ⅱ）记x0为函数在上的零点，证明： （ⅰ）； 2．（2020·黑龙江萨尔图大庆实验中学高三三模）已知函数，（e为自然对数的底）. （1）讨论的极值； （2）当时， （i）求证：当时，； （ii）若存在，使得，求实数m取值范围. 3．（2020·山东省实验高三三模）已知函数. （1）判断在上的单调性； （2）时，求证：（为自然对数的底数）. 4．（2020·全国高三三模）已知函数． （1）讨论函数的单调性； （2）若函数有两个零点，，求证：． 5．（2020·宜宾市叙州区第一中学校高三三模）已知函数 （Ⅰ）讨论极值点的个数； （Ⅱ）若是的一个极值点，且，证明： 1 / 2 原创原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ $$ · 方法规律技巧03 利用导数证明不等式的规律 基本原理 方 法 方法解读 配套例题 作差构造函数 证明不等式 证明:f(x)>g(x)(x∈D),令F(x)=f(x)-g(x)(x∈D),只须证明F(x)min>0(x∈D)即可,从而把证明不等式问题转化求F(x)min问题 典型例题(1) 变形构造函数证明不等式 常采用两边取对数(指数),移项通分，换元法等途径，将所证不等式进行等价变形，然后构造函数. 利用导数研究函数性质，转化为求函数的最值、极值问题. 典型例题(2) 温馨提醒 构造函数过程中务必要保证不等式的等价变形,要充分借助参数的范围进行化简 典型例题精选与变式 典型例题 自主解析 体会方法 (1)已知函数f(x)=ex-3x+3a(e为自然对数的底数,a∈R). ①求f(x)的单调区间与极值; ②求证:当a>ln,且x>0时,x+-3a. (1)①【解】由f(x)=ex-3x+3a,x∈R,知f'(x)=ex-3,x∈R.令f'(x)=0,得x=ln3, 于是当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表: x (-∞,ln3) ln3 (ln3,+∞) f'(x) - 0 + f(x) ↘ 3(1-ln3+a) ↗ 故f(x)的单调递减区间是(-∞,ln3],单调递增区间是[ln3,+∞),f(x)在x=ln3处取得极小值,极小值为f(ln3)=eln3-3ln3+3a=3(1-ln3+a). ②【证明】待证不等式等价于ex>x2-3ax+1, 设g(x)=ex-x2+3ax-1,x∈R,于是g'(x)=ex-3x+3a,x∈R.由①及a>ln=ln3-1知g'(x)的最小值为g'(ln3)=3(1-ln3+a)>0.于是对任意x∈R,都有g'(x)>0,所以g(x)在R上单调递增.于是当a>ln=ln3-1时,对任意x∈(0,+∞),都有g(x)>g(0).而g(0)=0,从而对任意x∈(0,+∞),g(x)>0. 即ex>x2-3ax+1,故x+-3a. (2)已知函数f(x)=x(1+ln x).若斜率为k的直线与曲线y=f'(x)交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,其中x1<x2,求证:x1<<x2. 【证明】 k=, 要证明x1<<x2, 即证x1<<x2,等价于1<, 令t=(由x1<x2,知t>1), 则只需证1<<