学会解题05 利用导数研究函数的零点或方程的根-学会解题之高三数学解题方法的归纳与选择【2021版】

· 方法规律技巧05 利用导数研究函数的零点或方程的根 基本原理 方 法 方法解读 配套例题 判断函数的零点个数 (1)根据题意构造函数f(x),其中f'(x)=0可解;； (2利用导数研究该函数在该区间上单调性、极值(最值)、端点值等性质，进而画出其图象； (3)结合f(x)的图象(或草图)及零点存在性定理得f(x)=0的根的个数 典型例题(1) 根据函数的零点求解参数范围 根据题目要求,画出函数图象的走势规律,标明函数极(最)值的位置,通过数形结合的思想去分析问题. 进而得到参数应满足的不等式(组),从而得解 典型例题(2) 温馨提醒 在利用分离参数法的时候要特别注意参数前面的系数的符号问题，一般情况下在确保系数恒为正或者负的时候适宜分离，否则需要分类讨论. 典型例题精选与变式 典型例题 自主解析 体会方法 (1) 设函数f(x)=ln x+,m∈R,讨论函数 g(x)=f'(x)-零点的个数. (2) 已知a∈R，函数f(x)＝ex－ax(e＝2.718 28… 是自然对数的底数).若函数F(x)＝f(x)－(ex－2ax＋2ln x＋a)在区间内无零点，求实数a的最大值. 　　　　　　　　　　新题好题训练与提高 1.【2020年高考全国Ⅰ卷文数20】已知函数． （1）当时，讨论的单调性； （2）若有两个零点，求的取值范围． 2．【2020年高考全国Ⅲ卷文数20】已知函数． （1）讨论的单调性： （2）若有三个零点，求的取值范围． 3．（2020·浙江省杭州第二中学高三三模）设函数，则函数的零点的个数为( ) A．4 B．5 C．6 D．7 4．（2020·辽宁丹东高三三模）已知函数，则的零点个数为（ ） A．4 B．3 C．2 D．1 5．（2020·南昌市八一中学高三三模）已知函数若在区间上方程只有一个解，则实数的取值范围为______． 1 / 2 原创原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ $$ · 方法规律技巧05 利用导数研究函数的零点或方程的根 基本原理 方 法 方法解读 配套例题 判断函数的零点个数 (1) 根据题意构造函数f(x),其中f ' (x)=0可解;； (2利用导数研究该函数在该区间上单调性、极值(最值)、端点值等性质，进而画出其图象； (3)结合f(x)的图象(或草图)及零点存在性定理得f(x)=0的根的个数 典型例题(1) 根据函数的零点求解参数范围 根据题目要求,画出函数图象的走势规律,标明函数极(最)值的位置,通过数形结合的思想去分析问题. 进而得到参数应满足的不等式(组),从而得解 典型例题(2) 温馨提醒 在利用分离参数法的时候要特别注意参数前面的系数的符号问题，一般情况下在确保系数恒为正或者负的时候适宜分离，否则需要分类讨论. 典型例题精选与变式 典型例题 自主解析 体会方法 (1) 设函数f(x)=ln x+,m∈R,讨论函数 g(x)=f'(x)-零点的个数. （1）函数g(x)=f'(x)-(x>0). 令g(x)=0,得m=-x3+x(x>0). 设h(x)=-x3+x(x≥0),∴h'(x)=-x2+1=-(x-1)(x+1). 当x∈(0,1)时,h'(x)>0,此时h(x)在(0,1)内单调递增; 当x∈(1,+∞)时,h'(x)<0,此时h(x)在(1,+∞)内单调递减. ∴当x=1时,h(x)取得极大值h(1)=-+1=. 令h(x)=0,即-x3+x=0,解得x=0或x=.函数h(x)的图象如图所示.由图可知: ①当m>时,函数y=m和函数y=g(x)的图象无交点; ②当m=时,函数y=m和函数y=g(x)的图象有且仅有一个交点; ③当0<m<时,函数y=m和函数y=g(x)的图象有两个交点; ④当m≤0时,函数y=m和函数y=g(x)的图象有且仅有一个交点. 综上所述,当m>时,函数g(x)无零点;当m=或m≤0时,函数g(x)有且仅有一个零点;当0<m<时,函数g(x)有两个零点. (2) 已知a∈R，函数f(x)＝ex－ax(e＝2.718 28… 是自然对数的底数).若函数F(x)＝f(x)－(ex－2ax＋2ln x＋a)在区间内无零点，求实数a的最大值. （2）法一　由已知得F(x)＝a(x－1)－2ln x，且F(1)＝0， 则F′(x)＝a－＝＝，x>0. ①当a≤0时，F′(x)<0，F(x)在区间(0，＋∞)上单调递减， 结合F(1)＝0知，当x∈时，F(x)>0. 所以F(