第1讲 导数的概念与运算（讲义）-2021新高考改革高中数学同步训练教师免备课（全国版）（选修2-2）

( 第1讲 导数的概念和运算 ) [来源:Z。xx。k.Com] [来源:学+科+网Z+X+X+K] 为了刻画现实世界中运动变化的现象与规律，在数学中引入了函数．随着人们对函数研究的深入，人们在思考：已知物体运动的路程作为时间的函数，在任意时刻的速度与加速度是怎样的一种关系？怎样求任意曲线的切线和曲边形的面积、几何体的体积？怎样研究复杂函数的变化规律？怎样解决生活中的优化问题？……于是，导数与积分应运诞生了，它是数学史上具有划时代意义的伟大创造，是数学史上的里程碑． 当你看到“导数”“积分”这两个名词时，你可能会感到陌生，其实它不过是初中数学的延伸．本章我们将会系统的学习如何用导数工具研究函数的性质，解决生活中的优化问题等一系列问题． 下面是生活中的两个实例： 1．我们都吹过气球，回忆一下吹气球的过程，可以发现，随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加得越来越慢．从数学的角度，如何描述这种现象呢？[来源:Z&xx&k.Com] 2．在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t(单位：s)的函数关系为h＝h(t)，h是否随t的变化均匀变化？ 为了研究上述数学与物理问题，我们从引入平均变化率开始，进一步研究导数，通过导数来研究各类函数的变化规律. 学习本章，要深刻领会以直代曲，无限细分、积分的极限思想，体会用微观驾驭宏观的辩证思维方法，体会构造在研究数学中的作用． $$ ( 第1讲 导数的概念与运算 ) 1.了解导数产生的数学背景以及导数的定义 2.能够熟练掌握常见函数的导数以及导数的四则运算法则. 3.掌握导数的几何意义以及曲线的切线方程. 1.导数的定义以及导数的等价变形形式. 2.导数的四则运算法则. 3.导数在研究曲线切线方程中的应用. 变化率与导数 1．在气球膨胀过程中，当空气容量从V1增加到V2时，气球的半径从r(V1)增加到r(V2)，气球的平均膨胀率是______________.随着气球体积逐渐变大，它的平均膨胀率逐渐变小． 2．高台跳水运动员当高度从h(t1)变化到h(t2)时，他的平均速度为______________. 3．函数平均变化率的定义 已知函数y＝f(x)，当自变量x从x1变化到x2时，函数值从f(x1)变化到f(x2)，则当x1≠x2时，比值______________.为函数f(x)从x1到x2的平均变化率．习惯上用Δx表示x2－x1，用x1＋Δx 代替x2；类似地，Δy＝f(x2)－f(x1)，于是平均变化率可以表示为. 4.导数：函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率是 ＝ ___________.我们称它为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝ ＝ ___________. 例1．质点运动规律为s(t)＝t2＋3，则从3到3＋Δt的平均速度为(　　) A．6＋Δt　　 B．6＋Δt＋ C．3＋Δt D．9＋Δt 练习1.已知函数f(x)＝2x2－4的图象上两点A，B，且xA＝1，xB＝1.1，则函数f(x)从A点到B点的平均变化率为(　　)[来源:Zxxk.Com] A．4 B．4x C．4.2 D．4.02 练习2. 已知函数y＝(x2＋1)，则函数从x0到x0＋Δx的平均变化率是________________． ______________________________________________________________________________________________________________________ 例2.过曲线f(x)＝x3上两点P(1,1)和Q(1＋Δx,1＋Δy)作曲线的割线，求出当Δx＝0.1时割线的斜率． 练习1.已知物体的运动方程是S＝－4t2＋16t(S的单位为m；t的单位为s)，则该物体在t＝2s时的瞬时速度为(　　) A．3m/s　　 B．2m/s C．1m/s D．0m/s 练习2. 设函数f(x)可导，则 等于(　　) A．f ′(1) B．3f ′(1) C．f ′(1) D．f ′(3) ______________________________________________________________________________________________________________________ 导数的公式 1.常见基本函数的导数 (1)若f(x)＝xn(n∈N*)，则f ′(x)＝______________. (2)若f(x)＝，则f ′(x)＝______________. (3)若f(x)