第3讲 导数的分类讨论（讲义）-2021新高考改革高中数学同步训练教师免备课（全国版）（选修2-2）

( 第 3 讲 导数的分类讨论 ) 本章利用分类讨论的思想研究函数的下列几类综合问题 1．与函数零点有关的参数范围问题 函数的零点，即的根，亦即函数的图象与轴交点横坐标，与函数零点有关的参数范围问题，往往利用导数研究函数的单调区间和极值点，并结合特殊点，从而判断函数的大致图像，讨论其图象与轴的位置关系，进而确定参数的取值范围． 与不等式恒成立问题有关的参数范围问题 2.含参数的不等式恒成立的处理方法 (1)的图象永远落在图象的上方； (2)构造函数法，一般构造，；[来源:学§科§网] (3)参变分离法，将不等式等价变形为，或，进而转化为求函数的最值.[来源:学.科.网] 3.参变分离法[来源:学科网ZXXK] 将已知恒成立的不等式由等价原理把参数和变量分离开，转化为一个已知函数的最值问题处理，关键是搞清楚哪个是变量哪个是参数，一般遵循“知道谁的范围，谁是变量；求谁的范围，谁是参数”的原则． 4.构造函数法 参变分离后虽然转化为一个已知函数的最值问题，但是有些函数解析式复杂，利用导数知识无法完成，或者是不易参变分离，故可利用构造函数法． 5.与函数单调区间有关的参数范围问题 若函数在某一个区间可导，函数在区间单调递增；函数在区间单调递减. 若函数在某一个区间可导，且函数在区间单调递增恒成立；函数在区间单调递减恒成立.[来源:学,科,网Z,X,X,K] 而上述的各个问题中，都会涉及或使用分类讨论的数学思想. $$ ( 第3讲 导数的分类讨论 ) 1. 利用导数研究函数的综合性质； 2. 根据函数性质，分析实际问题； 3. 根据实际问题，提炼函数，解决问题. 1.利用函数的性质分析问题； 2.利用函数的导数分析函数特征； 3.分类讨论的数学思想在导数中的应用. [来源:学*科*网Z*X*X*K] 定义区间上的单调性分析 1.函数在某个区间内可导 （1）函数的单调性的充分条件 若，则为_________； 若，则为_________。 （2）函数的单调性的必要条件 若为增函数，则_________； 若为减函数，则_________。 2、求可导函数单调区间的步骤： （1）求 （2）令解不等式，得的范围，就是_________。 令解不等式，得的范围，就是_________。 例1．已知e为自然对数的底数，则函数的单调递增区间是（ ） A. B. C. D. 练习2.定义在R上的奇函数满足，且当时，不等式恒成立，则函数的零点的个数为 A. 1 B.2 C.3 D.4 练习2. 已知函数的导函数为，且满足，则与的大小关系为____________． ______________________________________________________________________________________________________________________ 例2．若函数是在上单调递增，则实数a的取值范围是__________． 练习1.若函数的单调递减区间为，则__________． 练习2. 函数有极值的充要条件是（ ） A. B. C. D. ______________________________________________________________________________________________________________________ 极限类问题的导数讨论 1.导数实际上是平均变化率的一种极限形式，即____________. 2. 注意单侧极限思想在选择填空题中的应用，主要用于判断函数图像的各种形态特征，或者对函数渐进线的分析. 例3．设为可导函数，且，求的值（ ） A. 1 B. C. D. 练习1. 函数在点处的切线方程为，则（ ） A. -4 B. -2 C. 2 D. 4 练习2. 如图，直线和圆，当从开始在平面上绕点按逆时针方向匀速转动（转动角度不超过）时，它扫过的圆内阴影部分的面积是时间的函数，这个函数的图像大致是（ ） A. B. C. D. [来源:学科网ZXXK] ______________________________________________________________________________________________________________________ 例4．已知函数，在下列命题中，其中正确命题的序号是_________. （1）曲线必存在一条与x轴平行的切线；