第4讲 定积分（讲义）-2021新高考改革高中数学同步训练教师免备课（全国版）（选修2-2）

( 第4讲 定积分 ) 1.理解定积分的几何意义. 2.掌握定积分的基本性质. 3.直观了解并掌握微积分基本定理的含义. 4.会利用微积分基本定理求函数的积分. 1. 定积分的概念是基础. 2. 定积分法求简单的定积分、定积分的几何意义是重点. 3. 定积分在几何和物理上的应用是难点. ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 定积分的定概念 1．定积分的定义 如果函数f(x)在区间[a，b]上连续，用分点将区间[a，b]等分成n个小区间，在每个小区间上任取一点ξi(i＝1，2，…，n)，作和式f(ξi)Δx＝f(ξi)，当 时，上述和式无限接近于某个常数，这个常数叫做函数f(x)在区间[a，b]上的定积分，记作 . 2．定积分的几何意义 如图： 设阴影部分的面积为S. ① ； ② ； ③ ； ④ ； 例1.在等分区间的情况下，f(x)＝(x∈[0,2])及x轴所围成的曲边梯形面积和式的极限形式正确的是 (　　) A．· B．·] C． D．·n] 练习1.在求由x＝a、x＝b(a<b)、y＝f(x)(f(x)≥0)及y＝0围成的曲边梯形的面积S时，在区间[a，b]上等间隔地插入n－1个分点，分别过这些分点作x轴的垂线，把曲边梯形分成n个小曲边梯形，下列说法中正确的个数是 (　　) ①n个小曲边梯形的面积和等于S； ②n个小曲边梯形的面积和小于S； ③n个小曲边梯形的面积和大于S； ④n个小曲边梯形的面积和与S之间的大小关系无法确定 A．1个　 B．2个 C．3个　 D．4个 练习2.在“近似代替”中，函数f(x)在区间[xi，xi＋1]上的近似值等于 (　　) A．只能是左端点的函数值f(xi) B．只能是右端点的函数值f(xi＋1) C．可以是该区间内任一点的函数值f(ξi)(ξi∈[xi，xi＋1]) D．以上答案均不正确 例2. 利用定积分几何意义求(2x－4)dx的值 [来源:学科网] 练习1.求定积分|x－1|dx＝________ [来源:Z.xx.k.Com] 练习2.利用定积分几何意义求定积分dx的值为________． ____________________________________________________________________________________________________________ 微积分基本定理 1．微积分基本定理[来源:学科网][来源:Z_xx_k.Com] 一般地，如果f(x)是区间[a，b]上的连续函数，并且F′(x)＝f(x)，那么f(x)dx＝F(b)－F(a)．这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿—莱布尼茨公式．可以把F(b)－F(a)记为F(x)|，即 . 2.几种常见的曲边梯形面积的计算方法 （1）型区域： ①由一条曲线与直线以及轴所围成的曲边梯形的面积： . ②由一条曲线与直线以及轴所围成的曲边梯形的面积： . ③由两条曲线与直线 所围成的曲边梯形的面积 . （2）型区域： ①由一条曲线与直线以及轴所围成的曲边梯形的面积,可由得，然后利用S= 求出； ②由一条曲线与直线以及轴所围成的曲边梯形的面积，可由先求出，然后利用S= 求出； ③由两条曲线与直线所围成的曲边梯形的面积，可由先分别求出，，然后利用S= 求出 [来源:Z_xx_k.Com] 例3.计算下列各式的值： (1)设f(x)＝则f(x)dx等于(　　) A. B. C. D．不存在 (2)e|x|dx＝________． 练习1