第7讲 数学归纳法（讲义）-2021新高考改革高中数学同步训练教师免备课（全国版）（选修2-2）

第7讲 数学归纳法 (第一种方式)创设情境引入 创设问题情境，启动学生思维 情境1、法国数学家费马观察到 ： 归纳猜想：任何形如的数都是质数，这就是著名的费马猜想。 半个世纪以后，数学家欧拉发现，第5个费马数不是质数,从而推翻了费马的猜想。——“不完全归纳有时是错误的”[来源:学§科§网Z§X§X§K] （培养学生大胆猜想的意识和数学概括能力．概括能力是思维能力的核心．鲁宾斯坦指出：思维都是在概括中完成的．心理学认为“迁移就是概括”，这里知识、技能、思维方法、数学原理的迁移，我找的突破口就是学生的概括过程．） 情境2 、数列满足通过对前4项归纳，猜想可以让学生通过数列的知识加以验证——“不完全归纳有时是正确的”. 通过对上述两个情况的探究可以发现用“不完全归纳法”得到的结论不一定可靠。[来源:学科网] 为了寻求一种能够证明与正整数有关的数学问题的方法，从而引入本节课的新课内容一数学归纳法.[来源:学科网ZXXK][来源:学*科*网] (第二种方式) 1.“多米诺骨牌”游戏动画演示： 探究“多米诺骨牌”全部倒下的条件 引导学生思考并分析“多米诺骨牌”全部倒下的两个条件； ①第一块骨牌倒下； ②任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下。 强调条件②的作用：是一种递推关系（第k块倒下，使第k+1块倒下）。 2．类比“多米诺骨牌”的原理来验证情境2中对于通项公式的猜想。 “多米诺骨牌”原理 ①第一块骨牌倒下； ②若第块倒下，则使得第块倒下 3．引导学生概括, 形成科学方法[来源:Z|xx|k.Com] 证明一个与正整数有关的命题关键步骤如下： (1) 证明当取第一个值时结论正确；（归纳奠基） (2) 假设当 时结论正确, 证明当时结论也正确．（归纳递推） 完成这两个步骤后, 就可以断定命题对从开始的所有正整数都正确． 这种证明方法叫做数学归纳法． $$ 第7讲 数学归纳法 [来源:Zxxk.Com] 1.理解归纳法的含义; 2.能够运用数学归纳法证明数学问题; 1. 数学归纳法的应用; 2. 数学归纳证明数学问题是本节课的重点; 3. 数学归纳法在综合题中应用是难点. [来源:学|科|网Z|X|X|K] [来源:Zxxk.Com] 数阵找规律 找规律 式子或图形找规律 .yi 到的变化 .yi 利用数学归纳法直接证明相关问题 数学归纳法 数学归纳法直接证明 数学归纳法在综合题中应用 .yi 综合题中的数学归纳法 与函数导数联系的数学归纳法 找规律 归纳法______________________________________________________________________________________________________． 例1.用个不同的实数可得个不同的排列，每个排列为一行写成一个行的矩阵，对第行，记，（），例如由1、2、3排数阵知：由于此数阵中每一列各数之和都是12，所以，那么由1，2，3，4，5形成的数阵中，（ ） A．—3600 B．1800 C．—1080 D．—720 练习1. 把正整数按一定的规则排成了如图所示的三角形数表． 设是位于这个三角形数表中从上往下数第行、从左往右数第个数，如．则 ． 练习2.如下图，在杨辉三角形中，从上往下数共有（）行，在这些数中非1的数字之和是 ________________． 例2. 已知，，,．．．，以此类推，第5个等式为（ ） A． [来源:Z。xx。k.Com] B． C． D． 练习1. 图1，2，3，4分别包含1，5，13和25个互不重叠的单位正方形，按同样的方式构造图形，则第个图包含______个互不重叠的单位正方形。 图1 图2 图3 图4 练习2.平面内有条直线(),其中有且仅有两条直线相互平行,任意三条不过同一点,若用表示这条直线交点的个数,则当时 ( ) A. B. C. D. ______________________________________________________________________________________________________________________________. 利用数学归纳法直接证明相关问题 证明一个与正整数有关的命题关键步骤如下： (1) 证明当__________结论正确； (2) 假设当时结论正确, 证明当____________时结论也正确．（归纳递推）,这种证明方法叫做数学归