第8讲 复数（讲义）-2021新高考改革高中数学同步训练教师免备课（全国版）（选修2-2）

第8讲 复数 (第一种方式)[来源:学科网ZXXK] 复数在物理中的作用 量子力学中复数是十分重要的，因其理论是建基於复数域上无限维的希尔伯特空间。 相对论 如将时间变数视为虚数的话便可简化一些狭义和广义相对论中的时空度量 (Metric) 方程。 应用数学 实际应用中，求解给定差分方程模型的系统，通常首先找出线性差分方程对应的特征方程的所有复特征根r，再将系统以形为f(t) =e的基函数的线性组合表示。 (第二种方式) 复数的发展史 复数的产生和发展是数学史的奇特一章，是数学发展史上是一个重大的事件, 由于它诞生于“荒谬的矛盾”中，因此，复数一开始就给自己披上了一层“虚无缥缈”而又神秘的外衣。经过许多年的艰苦探索,走了近三百年的漫长历史时期,最后才逐渐被人们承 认和接受。今天复数已经在数学的许多分支及其他学科中得到广 泛的应用。 复数是怎样产生的?它是不是像有些书上所叙述的那样:在求一元二次方程的过程中，实数集不够用了需要进行扩张,扩张后的数集,使得一元二次方程有解,从而引入复数。这一过程表面上看似乎也符合人们的认识，也能为人们，特别是中学生所接受。可是在历史上复数却不是这样产生的,它不是产生干一元二次方程的求解过程.而是首先出现在求解一元三次方程的过程中。 16世纪意大利米兰医生卡当，从一位外号称为“塔尔里塔里”（意大利语为“口吃者”）那里得到一份关于一元三次方程求解方法的手稿，于1545年在他们“大法”一书中首先公布了一元三次方程的求解公式，他认为任何一个一元三次方程都可以化为形如 （1） 卡当在（1）式中，令，使（1）式成为 当或时，就可以满足上述方程，这就得到 因此便得到方程的解为 而对于一元三次方程 只要令，用同样的方法可得到 这就是解一元三次方程的卡当公式。 上述解一元三次方程的卡当公式，在数学逻辑推导上是正确无误的，但是这个方程显然有的根，以及另外两个实数根。这就产生了矛盾；在解一元三次方程时，要想得到大家承认的实数根，就必须经过负数开平方这样严峻而又不能邂逅的事实。这与在求解一元二次方程的情况完全不一样了，在一元二次方程的求解过程中，人们不承认负数开平方不会导致任何矛盾。因此虚数产生于求解一元三次方程的过程中也就不难理解了。 $$ ( 第8讲 复数 ) 1. 掌握复数的概念及几何意义. 2. 能够熟练掌握复数计算的四则混合运算的方法. 3. 了解复数的综合应用求解. 1. 复数的概念及计算法则是重点； 2.复数的几何意义与其它模块结合考察是难点. 数系的扩充及复数的概念 1.虚数单位i （1） 它的平方等于，即 ________； （2） 实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有的加、乘法运算仍然成立，即满足交换律与结合律． （3） i的乘方： _____________________，它们不超出的形式．[来源:学科网] 2.复数的定义 形如的数叫做复数， 分别叫做复数的实部与虚部 ________________ 3.复数相等 ____________，即____________，那么这两个复数相等 4.共轭复数 时，_________． 性质：____________________________- 例1.下列命题中：下列命题中： ①若，则仅当时为纯虚数； ②若，则； ③； ④若实数与对应，则实数集与纯虚数集可建立一一对应关系． 其中正确命题的个数是(　　) A．0　　　 B．1 C．2 D．3 练习1.已知复数满足|z|＝5，且是纯虚数，则＝________ 练习2.若复数，则实数的值为 . 例2.若∈R，i为虚数单位，且ai＋i2＝b＋i，则(　　) A．a＝1，b＝1 B．a＝－1，b＝1 C．a＝－1，b＝－1 D．a＝1，b＝－1 练习1.设a，b为实数，若复数1＋2i＝(a－b)＋(a＋b)i，则(　　) A．a＝，b＝ B．a＝3，b＝1 C．a＝，b＝ D．a＝1，b＝3 练习2.若，，是虚数单位，且，则的值为（ ） A． B． C． D． ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 复数的几何意义[来源:学.科.网Z.X.X.K] 1.复平面 ______________________________________