第9讲 导数与函数专题复习（讲义）-2021新高考改革高中数学同步训练教师免备课（全国版）（选修2-2）

( 第 9 讲 导数与函数专题 ) (第一种方式) 导数的作用[来源:Zxxk.Com] 理工科的大学生，在大学阶段、硕士生、博士生阶段都离不开微积分。大概用途举几个例子： 1、一个曲线方程，只要你给得出，我们就能准确算出它围成的面积，旋转围成的体积，空间的曲线长度； 2、方程的近似求解； 3、变力做功； 4、各种极值情况； 5、电、磁、声、光、电、、、，任何变化无常的量与量之间的关系； 一般的大学生，尤其是文科的大学生，一般只懂一点点的微积分皮毛。理论物理、天文、电子、电机、气象、水文、海洋、航空、、、、等专业，微积分学得比较多。 导数只是微积分中的最基本的概念和方法。 (第二种方式) 导数的发展史[来源:学科网] 17世纪以来，原有的几何和代数已难以解决当时生产和自然科学所提出的许多新问题，例如：如何求出物体的瞬时速度与加速度？如何求曲线的切线及曲线长度（行星路程）、矢径扫过的面积、极大极小值（如近日点、远日点、最大射程等）、体积、重心、引力等等；尽管牛顿以前已有对数、解析几何、无穷级数等成就，但还不能圆满或普遍地解决这些问题。当时笛卡儿的《几何学》和瓦里斯的《无穷算术》对牛顿的影响最大。牛顿将古希腊以来求解无穷小问题的种种特殊方法统一为两类算法：正流数术（微分）和反流数术（积分），反映在1669年的《运用无限多项方程》、1671年的《流数术与无穷级数》、1676年的《曲线求积术》三篇论文和《原理》一书中，以及被保存下来的1666年10月他写的在朋友们中间传阅的一篇手稿《论流数》中。所谓“流量”就是随时间而变化的自变量如x、y、s、u等，“流数”就是流量的改变速度即变化率，写作等。他说的“差率”“变率”就是微分。与此同时，他还在1676年首次公布了他发明的二项式展开定理。牛顿利用它还发现了其他无穷级数，并用来计算面积、积分、解方程等等。1684年莱布尼兹从对曲线的切线研究中引入了和拉长的S作为微积分符号，从此牛顿创立的微积分学在大陆各国迅速推广。 $$ ( 第 9 讲 导数与函数专题复习 ) 1. 掌握导数的求切线及单调性的方法. 2. 能够熟练掌握函数的图像与导数的关系、定义区间上的分类讨论、零点问题的分类及恒成立、存在性问题的方法. 3.了解导数的综合应用. 1. 函数的单调性、极值及最值是重点；函数的零点问题及导数综合是重点； 2.导数的综合应用是难点，尤其是含未知数的分类讨论是难点. 求导分析函数的图像特点 1. 函数在点处连续与点处可导的关系： ⑴函数在点处连续是在点处可导的__________. ⑵如果点处连续，那么在点处可导，是_______. 注：①可导的奇函数函数其导函数为___函数. ②可导的偶函数函数其导函数为_____函数. 2. 导数的几何意义： （1）几何意义：函数在点处的导数的几何意义就是曲线在点处的切线的斜率，也就是说，曲线在点P处的切线的斜率是，切线方程为_____________ 3. 函数单调性： ⑴函数单调性的判定方法：设函数在某个区间内可导，如果＞0，则为_________函数； ⑵常数的判定方法； 如果函数在区间内恒有___________，则为常数. 注：___________________ 4. 极值的判别方法：当函数在点处连续时： ①如果在附近的左侧＞0，右侧＜0，那么是________值； ②如果在附近的左侧＜0，右侧＞0，那么是_________值. 例1.已知在R上是减函数，求的取值范围. 练习1.函数是减函数的区间为( ) （Ａ）（Ｂ）（Ｃ）（Ｄ） [来源:学科网] 例2.已知曲线，则过点“改为在点”的切线方程是______________ 练习1曲线在点处的切线方程是 例3.设函数在及时取得极值. （1）求的值； （2）若对于任意的，都有成立，求c的取值范围. 练习1函数在x=____________处取得极大值 ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________定义区间上的分类讨论 1.一元二次函数的区间最值问题，核心是函数对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论。一般分为：对称轴在区间的_______，_______，__________三种情况. 例4.已知二次函数在区间上的最大值为3，求实数的值 [来源:学§科§网] 练习1.已知函数上的最大值是1，则实数的值为 _____________________________