第1讲 相似三角形的判定与性质（讲义）-2021新高考改革高中数学同步训练教师免备课（全国版）（选修4）

( 第 1 讲 相似三角形的判定及性质性质 ) 1.理解平行线等分线段定理及推论(重点)．　 2.掌握平行线等分线段定理及推论的证明(难点)．　 3.能利用平行线等分线段定理解决简单几何问题(重点、难点)． 1. 平行线等分线段定理及推论是重点． 2. 平行线等分线段定理及推论的证明是难点. 3. 利用平行线等分线段定理解决简单几何问题是重点、难点. ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 平行线等分线段定理 1．平行线等分线段定理[来源:学.科.网Z.X.X.K] (1)如果一组 在一条直线上 ，那么在其他直线上 ． (2)用符号语言表述： 已知a∥b∥c，直线m，n分别与a，b，c交于点A，B，C和A′，B′，C′(如图)，如果 ，那么 . [说明] (1)定理中的平行线组是指每相邻的两条距离都相等的一组特殊的平行线，它是由三条或三条以上的平行线组成的． (2)“相等线段”是指在“同一条直线”上截得的线段相等． 2．平行线等分线段定理的推论 (1)推论1：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必 第三边． (2)推论2：经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分 ． 例1.如图，已知直线l1∥l2∥l3∥l4，l，l′分别交l1，l2，l3，l4于A，B，C，D和A1，B1，C1，D1，AB＝BC＝CD. 求证：A1B1＝B1C1＝C1D1. 练习1．如图，AB∥CD∥EF，且AO＝OD＝DF，OE＝6，则BE等于(　　) 　　　 　 　　　　　　　　 　 　　　　　　　 　 　　　　　 A．9 B．10 C．11 D．12 练习2．如图，已知▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，过点A，B，C，D，O分别作直线a的垂线，垂足分别为A′，B′，C′，D′，O′. 求证：A′D′＝B′C′. [来源:Zxxk.Com] 例2.如图，在△ABC中，AD，BF为中线，AD，BF交于点G，CE∥FB交AD的延长线于点E. 求证：AG＝2DE. 练习1.如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，OE平行于AB交BC于E，AD＝6，求BE的长． 练习2.如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，M是CD的中点． 求证：AM＝BM. ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 平行线段分段成比例定理 1．平行线分线段成比例定理 (1)文字语言：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例． (2)图形语言： 如图l1∥l2∥l3， 则有：＝， ＝，＝. 变式有：＝，＝，＝. 2．平行线分线段成比例定理的推论 (1)文字语言：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的 成比例． (2)图形语言：如图l1∥l2∥l3， 则有：＝，＝，＝. 3．平行线分线段成比例定理的作用 平行线分线段成比例定理及推论是研究相似三角形的理论基础，它可以判定线段成比例．另外，当不能直接证明要证的比例成立时，常用该定理借助“中间比”转化成另两条线段的比，来得出正确结论．合理添加平行线，运用定理及推论列比例式，再经过线段间的转换可以求线段的比值或证明线段间倍数关系． 例3.已知：如图所示，l1∥l2∥l3，＝.求证：＝. [来源:学科网ZXXK] 练习1．已知：如图在梯形ABCD中，AD∥BC，F为对角线AC上一点，FE∥BC交AB于点E，DF的延长线交BC于点H，DE的延长线交CB的