第3讲 坐标系（讲义）-2021新高考改革高中数学同步训练教师免备课（全国版）（选修4）

第3讲 坐标系[来源:Zxxk.Com] (第一种方式) 希腊人最早使用了角度和弧度的概念。天文学家喜帕恰斯（Hipparchus 190-120 BC）制成了一张求各角所对弦的弦长函数的表格。并且，曾有人引用了他的极坐标系来确定恒星位置。在螺线方面，阿基米德描述了他的著名的螺线，一个半径随角度变化的方程。希腊人作出了贡献，尽管最终并没有建立整个坐标系统。 关于是谁首次将极坐标系应用为一个正式的坐标系统，流传着有多种观点。关于这一问题的较详尽历史，哈佛大学教授朱利安·卢瓦尔·科利奇的《极坐标系起源》作了阐述。1736年出版的《流数术和无穷级数》（en:Method of Fluxions）一书中，艾萨克·牛顿第一个将极坐标系应用于表示平面上的任何一点。牛顿在书中验证了极坐标和其他九种坐标系的转换关系。 此书包括了解析几何的许多应用，例如按方程描出曲线。书中创建之一，是引进新的坐标系。17甚至18世纪的人，一般只用一根坐标轴（x轴），其y值是沿着与x轴成直角或斜角的方向画出的。牛顿所引进的坐标之一，是用一个固定点和通过此点的一条直线作标准，例如我们使用的极坐标系。牛顿还引进了双极坐标，其中每点的位置决定于它到两个固定点的距离。由于牛顿的这个工作直到1736年才为人们所发现，而瑞士数学家J.贝努利于1691年在《教师学报》上发表了一篇基本上是关于极坐标的文章，所以通常认为J.贝努利是极坐标的发现者。J.贝努利的学生J.赫尔曼在1729年不仅正式宣布了极坐标的普遍可用，而且自由地应用极坐标去研究曲线。他还给出了从直角坐标到极坐标的变换公式。确切地讲，J.赫尔曼把cosθ,sinθ当作变量来使用，而且用n和m来表示cosθ和sinθ。欧拉扩充了极坐标的使用范围，而且明确地使用三角函数的记号；欧拉那个时候的极坐标系实际上就是现代的极坐标系。 [来源:学科网] [来源:Z*xx*k.Com] (第二种方式) 1．如图是某校园的平面示意图．假设某同学在教学楼处，请回答下列问题： ①他向东偏北60°方向走120 m后到达什么位置？该位置惟一确定吗？ ②如果有人打听体育馆和办公楼的位置，他应如何描述？ ③能否用“方位角”和“距离”两个有序实数对来表示一个点的位置呢？ 2．据太平洋海啸预警中心测定：当地时间2010年2月27日凌晨3时34分(北京时间27日14时34分)，南美洲智利中部近岸(36.1°S, 72.6°W)发生里氏8.8级地震，震源深度为33公里，震中距其东北方向的智利首都圣地亚哥大约450公里．这种用方向和距离表示平面上一点位置的思想是什么思想呢？ $$ 第3讲 坐标系 [来源:Zxxk.Com] 1．理解极坐标系的概念，理解极坐标的多值性． 2．掌握极坐标与直角坐标的互化． 3．掌握极坐标系的简单应用． 4．了解极坐标方程的意义． 5．掌握直线和圆的极坐标方程． 6．能够根据极坐标方程研究有关数学问题． 7．了解柱坐标系、球坐标系的意义． 8．掌握柱坐标、球坐标与空间直角坐标的互化关系与公式． 9．能够根据空间坐标的转化解决某些问题． 1．能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别．(难点) 2．掌握极坐标和直角坐标的互化关系式，能进行极坐标和直角坐标的互化．(重点、易错点) 3．会进行曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化；了解简单图形(如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆)表示的极坐标方程．(重点、易错点) 4．能够运用直线和圆的极坐标方程解决问题．(难点) 5．了解柱坐标系、球坐标系的意义，能用柱坐标系、球坐标系刻画简单问题中的点的位置．(重点) 6．知道柱坐标、球坐标与空间直角坐标的互化关系与公式，并用于解题．(难点、易错点) 7．了解柱坐标系、球坐标系的意义，能用柱坐标系、球坐标系刻画简单问题中的点的位置．(重点) 8．知道柱坐标、球坐标与空间直角坐标的互化关系与公式，并用于解题．(难点、易错点) 极坐标系 1．极坐标系的概念 (1)极坐标系的建立：在平面内取一个定点O，叫做 ；自极点O引一条射线Ox，叫做 ；再选定一个 、一个角度单位(通常取弧度)及其 (通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系． (2)极坐标：设M是平面内一点，极点O与点M的距离|OM|叫做点M的 ，记为ρ；以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角xOM叫做点M的 ，记为θ.有序数对 叫做点M的极坐标，记为 ．一般地，不作特殊说明时，我们认为ρ≥0，θ可取 ． 2．点与极坐标的关系 一般地，极坐标(ρ，θ)与 表示同一个点．特别地，极点O